Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias
b)
b)
Passo 1
Beleza, então o que temos aqui é uma série de potências do tipo
O que a gente quer descobrir é o centro dessa série e o raio de convergência.
Isso é tópico de Análise ou Cálculo: séries de potências e teste de convergência (geralmente o teste da raiz ou da razão).
Pra resolver, vamos usar o teste da raiz (é o mais direto nesse caso) e lembrar que o centro de uma série
Passo 2
Primeiro, perceba que a nossa série já está escrita em função de
. Isso mostra que o centro é
, porque ela é da forma “coisa em
elevada a algo”.
Agora, pro raio de convergência, aplicamos o teste da raiz:
- Vamos olhar para o termo geral
2) Calcular o limite da-ésima raiz do módulo do termo:
$$L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|b_n\bigr|}= \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{e^{-n}\,\bigl|(x-3)^{2n}\bigr|} = \lim_{n\to\infty}e^{-1}\,\bigl|(x-3)^2\bigr|^{1} = e^{-1}\,(x-3)^2\,. $$
- O teste da raiz diz que a série converge se
. Logo:
Passo 3
Então já temos tudo:
- O centro é
. - O raio de convergência
satisfaz e aqui deu .
Resposta
Centro:
.
Raio de convergência: .
Raio de convergência: