Encontre o centro e o raio de convergência das series de potencias
b) sum e^-n(x-3)^2 n

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma série de potências do tipo
sumn=0^infty e^-n,(x-3)^2n,
O que a gente quer descobrir é o centro dessa série e o raio de convergência.
Isso é tópico de Análise ou Cálculo: séries de potências e teste de convergência (geralmente o teste da raiz ou da razão).
Pra resolver, vamos usar o teste da raiz (é o mais direto nesse caso) e lembrar que o centro de uma série sum an(x-c)^n é justamente o c que aparece.

Passo 2

Primeiro, perceba que a nossa série já está escrita em função de (x-3)^2n. Isso mostra que o centro é c=3, porque ela é da forma “coisa em (x-3) elevada a algo”.
Agora, pro raio de convergência, aplicamos o teste da raiz:
  1. Vamos olhar para o termo geral bn = e^-n,(x-3)^2n,
    2) Calcular o limite da n-ésima raiz do módulo do termo:
    $$L = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{\bigl|b_n\bigr|}
    = \lim_{n\to\infty}\sqrt[n]{e^{-n}\,\bigl|(x-3)^{2n}\bigr|}  
    = \lim_{n\to\infty}e^{-1}\,\bigl|(x-3)^2\bigr|^{1}  
    = e^{-1}\,(x-3)^2\,. $$  
    
  2. O teste da raiz diz que a série converge se L = limntoinftyraiz[n]l|bnr| = limntoinftyraiz[n]e^-n,l|(x-3)^2nr| = limntoinftye^-1,l|(x-3)^2r|^1 = e^-1,(x-3)^2, . Logo: L<1

Passo 3

Então já temos tudo:
  • O centro é x0 = 3.
  • O raio de convergência R satisfaz |x-3| e aqui deu R = raize.

Resposta

Centro: 3.
Raio de convergência: raize,.

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