Analise a convergência das seguintes séries:
[Converge, use comparação. Use o fato que
para
]
Passo 1
Beleza, aqui o enunciado é: “Analise se a série
converge ou diverge, usando comparação e sabendo que
para
.
O conteúdo é teste de comparação de séries, mais especificamente comparação com séries do tipo .
O conteúdo é teste de comparação de séries, mais especificamente comparação com séries do tipo
O que vamos precisar:
- A desigualdade
. - Saber que a série
converge se (é a famosa série -série). - Aplicar o teste de comparação simples.
Passo 2
Primeiro, lembra da ideia do teste de comparação simples: se você tem uma série
com
, e consegue achar outra série
que você já sabe convergir e tal que
a partir de algum
, então
também converge.
Aqui a nossa
é
E a dica é usar
. Essa desigualdade vem de comparar funções crescentes para
(você pode verificar derivadas ou tabelas numéricas, mas aceitaremos como verdade).
Então para todo
:
Passo 3
Agora simplifica o lado direito:
Então chegamos a
Sabemos que
é uma
-série com
. Como
, essa
-série converge.
Pelo teste de comparação simples, a nossa série
também converge.
Resposta
A série
converge (convergência absoluta, pelo teste de comparação com
).