Analise a convergência das seguintes séries:
sumn=2^+infty ln nn^2 [Converge, use comparação. Use o fato que ln x para x>0 ]

Passo 1

Beleza, aqui o enunciado é: “Analise se a série
sumn=2^+infty ln nn^2
converge ou diverge, usando comparação e sabendo que para .
O conteúdo é teste de comparação de séries, mais especificamente comparação com séries do tipo .
O que vamos precisar:
  • A desigualdade .
  • Saber que a série converge se (é a famosa série -série).
  • Aplicar o teste de comparação simples.

Passo 2

Primeiro, lembra da ideia do teste de comparação simples: se você tem uma série an = ln nn^2 com ln n < raizn Longrightarrow ln nn^2 < raiznn^2 , e consegue achar outra série que você já sabe convergir e tal que a partir de algum , então também converge.
Aqui a nossa é
E a dica é usar . Essa desigualdade vem de comparar funções crescentes para (você pode verificar derivadas ou tabelas numéricas, mas aceitaremos como verdade).
Então para todo :

Passo 3

Agora simplifica o lado direito:
raiznn^2 = n^1/2n^2 = n^1/2 - 2 = n^-3/2 = 1n^3/2
Então chegamos a
0 <= ln nn^2 < 1n^3/2
Sabemos que é uma -série com . Como , essa -série converge.
Pelo teste de comparação simples, a nossa série também converge.

Resposta

A série converge (convergência absoluta, pelo teste de comparação com ).

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