Um piscicultor possui 5000 tilápias em sua lagoa. O número de tilápias aumenta 8 % ao mês e o agricultor retira 300 tilápias por mês.
Mostre que a população de tilápias Tn depois de n meses é dada recursivamente por
Tn=1,08 Tn-1-300 , T0=5000

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que um piscicultor começa com 5000 tilápias, todo mês a população cresce 8% e depois ele retira 300 peixes. A gente precisa mostrar que isso gera uma sequência recursiva dada por
Tn = 1,08,Tn-1 - 300, T0 = 5000
O conteúdo aqui é sequência recursiva (mais especificamente um modelo de crescimento com retirada). Para resolver, vamos usar:
1) cálculo de porcentagem (aumentar algo em 8% é multiplicar por 1,08)
2) conceito de “recorrência”, ou seja, como a quantidade de um mês depende da do mês anterior.

Passo 2

Primeiro, pensa só no aumento de 8%. Se no mês (n-1) a gente tem Tn-1 tilápias, o crescimento de 8% faz subir esse número para
Tn-1 + 0,08,Tn-1 = (1 + 0,08),Tn-1 = 1,08,Tn-1
Isso é só usar a ideia de porcentagem: aumentar em 8% é multiplicar por 1,08.

Passo 3

Depois do crescimento, o agricultor retira 300 tilápias. Então, a população ao final do mês n é o valor após o aumento menos 300:
Tn = 1,08,Tn-1 - 300
Esse é o cerne da recorrência: o valor de Tn vem de Tn-1 ajustado pelo crescimento e pela retirada.

Passo 4

Por fim, a gente precisa dar a condição inicial: no começo, mês zero, ele tem 5000 tilápias. Então
T0 = 5000

Resposta

Logo, a sequência que modela a população de tilápias é
boxedTn = 1,08,Tn-1 - 300, T0 = 5000

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