Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
[Diverge]
Passo 1
Beleza, então a ideia aqui é analisar a sequência
O que estamos vendo é um comportamento de sequência (tópico: limites de sequências). Para dizer se ela converge ou diverge, vamos precisar lembrar que “n!” (fatorial) costuma crescer muito mais rápido que qualquer potência polinomial como
. Mas, pra não ficar só no “achismo”, a gente vai usar um teste bem prático: o teste da razão entre termos consecutivos.
Passo 2
Teste da razão: a gente calcula
e olha o que acontece quando
cresce. Se essa razão for maior que 1 a partir de algum
e continuar aumentando, a sequência cresce sem parar (vai para
). Se for <1, ela tende a zero; se for exatamente 1, aí é outro papo.
Passo 3
Vamos ao cálculo:
Então
Agora observe: para
grande,
Logo,
fica aproximadamente igual a
, que vai para
. Ou seja, a razão é maior que 1 e aumenta sem limite.
Resposta
A sequência diverge, mais precisamente