Determine se as seguintes sequências são convegentes ou divergentes. Caso convergente, calcule o seu limite.
an=n!n^2 [Diverge]

Passo 1

Beleza, então a ideia aqui é analisar a sequência
an = n!n^2
O que estamos vendo é um comportamento de sequência (tópico: limites de sequências). Para dizer se ela converge ou diverge, vamos precisar lembrar que “n!” (fatorial) costuma crescer muito mais rápido que qualquer potência polinomial como . Mas, pra não ficar só no “achismo”, a gente vai usar um teste bem prático: o teste da razão entre termos consecutivos.

Passo 2

Teste da razão: a gente calcula
an+1an
e olha o que acontece quando cresce. Se essa razão for maior que 1 a partir de algum e continuar aumentando, a sequência cresce sem parar (vai para ). Se for <1, ela tende a zero; se for exatamente 1, aí é outro papo.

Passo 3

Vamos ao cálculo:
an = n!n^2, an+1 = (n+1)!(n+1)^2
Então
an+1an = (n+1)!(n+1)^2n!n^2 = (n+1)!,l(n^2r)(n+1)^2,n! = (n+1),n^2(n+1)^2 = n^2,n+1,
Agora observe: para n^2n+1 = n cdot nn+1 approx n(pois tfracnn+1to1) grande,
Logo, fica aproximadamente igual a , que vai para . Ou seja, a razão é maior que 1 e aumenta sem limite.

Resposta

A sequência diverge, mais precisamente
limntoinfty n!n^2 = +infty

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