Um piscicultor possui 5000 tilápias em sua lagoa. O número de tilápias aumenta
ao mês e o agricultor retira 300 tilápias por mês.
(a) Mostre que a população de tilápias
depois de
meses é dada recursivamente por
(b) Quantas tilápias restarão na lagoa depois de seis meses?
(a) Mostre que a população de tilápias
Passo 1
Beleza, vamos desenrolar esse exercício de população de tilápias.
Enunciado resumido: o piscicultor começa com 5000 tilápias (T₀=5000). A cada mês elas crescem 8% e depois ele tira 300.
Conteúdo da matéria: equação de recorrência, porcentagem e como montar uma fórmula recursiva. Vamos precisar saber que “crescer 8%” é multiplicar por 1,08, e que “retirar” é subtrair 300.
Enunciado resumido: o piscicultor começa com 5000 tilápias (T₀=5000). A cada mês elas crescem 8% e depois ele tira 300.
Conteúdo da matéria: equação de recorrência, porcentagem e como montar uma fórmula recursiva. Vamos precisar saber que “crescer 8%” é multiplicar por 1,08, e que “retirar” é subtrair 300.
Passo 2
Como montamos a recorrência Tₙ?
- No final do mês anterior temos Tₙ₋₁ peixes.
- Crescimento de 8%: isso transforma Tₙ₋₁ em Tₙ₋₁ + 0,08·Tₙ₋₁ = 1,08·Tₙ₋₁.
- Aí ele retira 300: fica 1,08·Tₙ₋₁ − 300.
Logo a fórmula recursiva é
Passo 3
Agora a parte (b): quantas tilápias após seis meses, ou seja T₆?
Eles já te dão T₅ = 5586. Então basta aplicar a recorrência uma vez:
Eles já te dão T₅ = 5586. Então basta aplicar a recorrência uma vez:
Calculemos em detalhe:
1,08×5586 = 6032,88
6032,88 − 300 = 5732,88
1,08×5586 = 6032,88
6032,88 − 300 = 5732,88
Como não dá pra ter fração de peixe, arredondamos para o inteiro mais próximo: 5733 tilápias.
Resposta
Depois de seis meses restarão aproximadamente 5733 tilápias.