Um piscicultor possui 5000 tilápias em sua lagoa. O número de tilápias aumenta 8 % ao mês e o agricultor retira 300 tilápias por mês.
(a) Mostre que a população de tilápias Tn depois de n meses é dada recursivamente por
Tn=1,08 Tn-1-300 , T0=5000
(b) Quantas tilápias restarão na lagoa depois de seis meses?

Passo 1

Beleza, vamos desenrolar esse exercício de população de tilápias.
Enunciado resumido: o piscicultor começa com 5000 tilápias (T₀=5000). A cada mês elas crescem 8% e depois ele tira 300.
Conteúdo da matéria: equação de recorrência, porcentagem e como montar uma fórmula recursiva. Vamos precisar saber que “crescer 8%” é multiplicar por 1,08, e que “retirar” é subtrair 300.

Passo 2

Como montamos a recorrência Tₙ?
  1. No final do mês anterior temos Tₙ₋₁ peixes.
  2. Crescimento de 8%: isso transforma Tₙ₋₁ em Tₙ₋₁ + 0,08·Tₙ₋₁ = 1,08·Tₙ₋₁.
  3. Aí ele retira 300: fica 1,08·Tₙ₋₁ − 300.
    Logo a fórmula recursiva é
Tn ;=; 1,08,Tn-1;-;300 , T0=5000

Passo 3

Agora a parte (b): quantas tilápias após seis meses, ou seja T₆?
Eles já te dão T₅ = 5586. Então basta aplicar a recorrência uma vez:
T6 ;=; 1,08 times T5 ;-; 300 ;=; 1,08 times 5586 ;-;300
Calculemos em detalhe:
1,08×5586 = 6032,88
6032,88 − 300 = 5732,88
Como não dá pra ter fração de peixe, arredondamos para o inteiro mais próximo: 5733 tilápias.

Resposta

Depois de seis meses restarão aproximadamente 5733 tilápias.

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