Descreva os 7 primeiros termos da sequência definida por a1=raiz2 e an+1=raiz2+an. Prove que é convergente e calcule seu limite.

Passo 1

Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos a sequência
a1 = raiz2, an+1 = raiz2 + an,
e a tarefa é (1) escrever os 7 primeiros termos, (2) provar que a sequência converge e (3) achar esse limite.
Conteúdo que vamos usar: definição de sequência, indução finita, noções de “monótona” e “limitada” e o teorema de que toda sequência monótona e limitada converge, além de resolver uma equação para encontrar o limite.

Passo 2

Calcular os 7 primeiros termos (em forma de radicais aninhados).
a1 &= raiz2, a2 &= raiz2 + raiz2, a3 &= raiz2 + raiz2 + raiz2, a4 &= raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2, a5 &= raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2, a6 &= raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2, a7 &= raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2 + raiz2
Se a gente aproximar numericamente, dá algo como
a1approx1.4142,; a2approx1.8478,; a3approx1.9616,; a4approx1.9904,; a5approx1.9976,; a6approx1.9994,; a7approx1.9998,
já mostrando que vai se aproximando de 2.

Passo 3

Provar que an+1 = raiz2 + an > raiz2 + an-1 = an é crescente e limitada acima (por 2).
  1. Crescente: queremos an+1 = raiz2 + an < raiz2 + 2 = 2 .
    • Base ( ): .
    • Passo indutivo: suponha . Então
    Logo, por indução, toda diferença é positiva, ou seja, a sequência é crescente.
  2. Limitada acima: queremos mostrar para todo .
    • Base ( ): .
    • Passo indutivo: suponha . Então
    Assim . Por indução, todos os termos ficam abaixo de 2.
Teorema (Weierstrass): toda sequência que é crescente e limitada acima converge.

Passo 4

Como L = limntoinfty an+1 = limntoinftyraiz2 + an = raiz2 + L converge, chamamos seu limite de L^2 = 2 + L Longrightarrow L^2 - L - 2 = 0 Longrightarrow L = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 . Passando ao limite na relação de recorrência:
L = 2
Elevando ao quadrado:
As raízes são e , mas como todos , o limite é

Resposta

Os sete primeiros termos são
raiz2,;raiz2+raiz2,;raiz2+raiz2+raiz2,;dots,; raiz2+raiz2+cdots+raiz2(7 radicais),
a sequência é crescente e limitada acima por 2, logo converge, e seu limite vale
boxed2

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