Descreva os 7 primeiros termos da sequência definida por e . Prove que é convergente e calcule seu limite.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz o seguinte: temos a sequência
e a tarefa é (1) escrever os 7 primeiros termos, (2) provar que a sequência converge e (3) achar esse limite.
Conteúdo que vamos usar: definição de sequência, indução finita, noções de “monótona” e “limitada” e o teorema de que toda sequência monótona e limitada converge, além de resolver uma equação para encontrar o limite.
Passo 2
Calcular os 7 primeiros termos (em forma de radicais aninhados).
Logo, por indução, toda diferença é positiva, ou seja, a sequência é crescente.
Limitada acima: queremos mostrar para todo .
Base (): .
Passo indutivo: suponha . Então
Assim . Por indução, todos os termos ficam abaixo de 2.
Teorema (Weierstrass): toda sequência que é crescente e limitada acima converge.
Passo 4
Como L = limntoinfty an+1 = limntoinftyraiz2 + an = raiz2 + L converge, chamamos seu limite de L^2 = 2 + L Longrightarrow L^2 - L - 2 = 0 Longrightarrow L = 1 pm raiz1 + 82 = 1 pm 32 . Passando ao limite na relação de recorrência: