Explique porque a equação e^{-x}=x admite uma solução no intervalo [0,1].
a)Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
b) Tomando \varphi(x)=e^{-x} como função de iteração e x_{0}=0 como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?

Passo 1

O que o enunciado dá e pede, claramente:
  • Dado o problema e^{-x}=x.
  • Pergunta inicial: explicar por que essa equação admite alguma solução no intervalo [0,1].
  • (a) Pedem aplicar o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos e dizer se existe outra raiz.
  • (b) Pedem analisar se, tomando \varphi(x)=e^{-x} e x_{0}=0, o método do ponto fixo converge.
Informações úteis extraídas do enunciado:
  • A função que vamos estudar é naturalmente f(x)=e^{-x}-x.
  • Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (para existência) e a derivada (para monotonicidade/uniqueness).
  • Para a bissecção precisaremos avaliar f em pontos sucessivos do intervalo [0,1].
  • Para ponto fixo vamos analisar \varphi'(x) e condições de contração.

Passo 2

Mostrando existência de uma raiz em [0,1] por Teorema do Valor Intermediário.
  • Defina f(x)=e^{-x}-x. A função e^{-x} é contínua em \mathbb{R} e x é contínuo, logo f é contínua em [0,1].
  • Calcule os valores nos extremos: f(0)=e^{0}-0=1>0, \qquad f(1)=e^{-1}-1\approx0{,}3679-1=-0{,}6321<0.
  • Como f é contínua e f(0) e f(1) têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um c\in(0,1) tal que f\text{(c)}=0. Ou seja, existe uma solução de e^{-x}=x em (0,1).

Passo 3

Mostrando unicidade da raiz (não existe outra raiz).
  • Calcule a derivada de f: f'(x)=-e^{-x}-1.
  • Observação: para todo x\in\mathbb{R} tem-se e^{-x}>0, portanto f'(x)=-e^{-x}-1<0.
  • Conclusão didática: f é estritamente decrescente em todo \mathbb{R}. Uma função estritamente decrescente pode cortar o eixo x no máximo uma vez. Como já sabemos que existe pelo menos uma raiz, essa raiz é única em \mathbb{R}.

Passo 4

Explicando o método da bissecção e o critério para “2 dígitos significativos”.
  • Ideia do método: parte-se de um intervalo [a,b] com f(a)f(b)<0; toma-se o ponto médio m=(a+b)/2 e substitui-se um dos extremos por m de modo a manter f de sinais opostos nas extremidades; repete-se até a precisão desejada.
  • O enunciado pede 2 dígitos significativos. Para números menores que 1, ter 2 dígitos significativos significa que, ao arredondar, os dois primeiros dígitos não nulos da mantissa estão corretos. Para o número da raiz (que sabemos estar entre 0,5 e 0,6), o valor com duas cifras significativas será 0{,}57. O intervalo de números que arredondam para 0{,}57 com 2 dígitos significativos é aproximadamente [0{,}565,0{,}575).
  • Critério prático de parada (didático): parar a bissecção quando o intervalo atual inteiro estiver contido em [0{,}565,0{,}575); então qualquer ponto do intervalo arredonda para 0{,}57 com 2 dígitos significativos.

Passo 5

Aplicando bissecção passo a passo (avaliando f e escolhendo subintervalos).
Começamos com [a_0,b_0]=[0,1], f(0)=1>0, f(1)\approx-0{,}6321<0.
  1. m_1=0{,}5. Calcule f(0{,}5)=e^{-0{,}5}-0{,}5\approx0{,}60653066-0{,}5=0{,}10653066>0. Sinal em m_1 positivo, então raiz está em [0{,}5,1].
  2. Novo intervalo [0{,}5,1]. m_2=0{,}75. f(0{,}75)=e^{-0{,}75}-0{,}75\approx0{,}47236655-0{,}75=-0{,}27763345<0. Então raiz em [0{,}5,0{,}75].
  3. Novo intervalo [0{,}5,0{,}75]. m_3=0{,}625. f(0{,}625)=e^{-0{,}625}-0{,}625. Usando e^{-0{,}625}=e^{-5/8}\approx0{,}53526143 obtemos f(0{,}625)\approx0{,}53526143-0{,}625=-0{,}08973857<0. Raiz em [0{,}5,0{,}625].
  4. Novo intervalo [0{,}5,0{,}625]. m_4=0{,}5625. e^{-0{,}5625}\approx0{,}569782824. Logo f(0{,}5625)\approx0{,}569782824-0{,}5625=0{,}007282824>0. Raiz em [0{,}5625,0{,}625].
  5. Novo intervalo [0{,}5625,0{,}625]. m_5=0{,}59375. e^{-0{,}59375}\approx0{,}552059 (aprox), então f(0{,}59375)\approx0{,}552059-0{,}59375=-0{,}041691<0. Raiz em [0{,}5625,0{,}59375].
  6. Novo intervalo [0{,}5625,0{,}59375]. m_6=0{,}578125. e^{-0{,}578125}\approx0{,}560972, então f(0{,}578125)\approx0{,}560972-0{,}578125=-0{,}017153<0. Raiz em [0{,}5625,0{,}578125].
  7. Novo intervalo [0{,}5625,0{,}578125]. m_7=0{,}5703125. Podemos calcular e^{-0{,}5703125}=e^{-0{,}5625}e^{-0{,}0078125}\approx0{,}569782824\cdot0{,}992213\approx0{,}565295,então f(0{,}5703125)\approx0{,}565295-0{,}5703125=-0{,}0050175<0. Raiz em [0{,}5625,0{,}5703125].
  8. Novo intervalo [0{,}5625,0{,}5703125]. m_8=0{,}56640625. Calculando e^{-0{,}56640625}=e^{-0{,}5625}e^{-0{,}00390625}\approx0{,}569782824\cdot0{,}996099\approx0{,}567569,então f(0{,}56640625)\approx0{,}567569-0{,}56640625=0{,}00116275>0. Raiz em [0{,}56640625,0{,}5703125].
Agora o intervalo atual é [0{,}56640625,0{,}5703125], cujo comprimento é 0{,}00390625 e ambos os extremos estão dentro de [0{,}565,0{,}575). Portanto qualquer número nesse intervalo arredonda para 0{,}57 com 2 dígitos significativos. Assim a bissecção fornece a aproximação com 2 dígitos significativos.

Passo 6

Conclusões sobre (a) e (b) com justificativas finais.
  • (a) A raiz obtida pela bissecção fica no intervalo [0{,}56640625,0{,}5703125]. Tomando a aproximação por exemplo pelo ponto médio desse intervalo dá x\approx0{,}568359375, mas com 2 dígitos significativos arredondamos para 0{,}57. Quanto à existência de outra raiz: não há outra raiz em \mathbb{R} porque f é estritamente decrescente (veja Passo 3), logo a solução é única.
  • (b) Análise do método do ponto fixo com \varphi(x)=e^{-x} e x_{0}=0.
    • Calcule \varphi'(x)=-e^{-x}. Em valor absoluto |\varphi'(x)|=e^{-x}.
    • Note que x_{1}=\varphi(x_{0})=\varphi(0)=1. A partir de x_{1}=1 todos os iterados ficam no intervalo [e^{-1},1] porque \varphi(1)=e^{-1} e \varphi é decrescente; de fato \varphi([e^{-1},1])\subseteq[e^{-1},e^{-e^{-1}}]\subset[e^{-1},1].
    • No intervalo [e^{-1},1] temos \sup_{x\in[e^{-1},1]}|\varphi'(x)|=e^{-e^{-1}}\approx0{,}6922<1.Ou seja, \varphi é contração em [e^{-1},1].
    • Como x_{1}=1\in[e^{-1},1] e \varphi é uma contração nesse intervalo, o Teorema do Ponto Fixo garante que a sequência gerada por x_{k+1}=\varphi(x_k) converge para o único ponto fixo (a raiz de e^{-x}=x).
    • Portanto, embora |\varphi'(0)|=1 (logo não se pode aplicar diretamente o teste de contração em um intervalo que contenha 0), o chute x_{0}=0 produz x_{1}=1 que cai num intervalo onde \varphi é contração; daí em diante a iteração converge. Em palavras: sim, com x_{0}=0 o método do ponto fixo converge para a raiz (convergência linear com constante aproximadamente e^{-e^{-1}}).

Resposta

Existe uma (e apenas uma) solução em [0,1] (mais precisamente em (0,1)).
a) Pela bissecção a raiz está em [0{,}56640625,0{,}5703125], logo com 2 dígitos significativos x\approx0{,}57. Não existe outra raiz (a solução é única).
b) Sim: a sequência com \varphi(x)=e^{-x} e x_{0}=0 converge (pois x_{1}=1\in[e^{-1},1] e \varphi é contração em [e^{-1},1] com constante L=e^{-e^{-1}}\approx0{,}6922<1).

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