Explique porque a equação
admite uma solução no intervalo
.
a)Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
b) Tomando
como função de iteração e
como chute inicial o Método do Ponto Fixo converge?
a)Use o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos. É possível mostrar que não há outra raiz?
b) Tomando
Passo 1
O que o enunciado dá e pede, claramente:
- Dado o problema
. - Pergunta inicial: explicar por que essa equação admite alguma solução no intervalo
. - (a) Pedem aplicar o método da bissecção para encontrar a raiz com 2 dígitos significativos e dizer se existe outra raiz.
- (b) Pedem analisar se, tomando
e , o método do ponto fixo converge.
Informações úteis extraídas do enunciado:
- A função que vamos estudar é naturalmente
. - Vamos usar o Teorema do Valor Intermediário (para existência) e a derivada (para monotonicidade/uniqueness).
- Para a bissecção precisaremos avaliar
em pontos sucessivos do intervalo . - Para ponto fixo vamos analisar
e condições de contração.
Passo 2
Mostrando existência de uma raiz em
por Teorema do Valor Intermediário.
- Defina
. A função é contínua em e é contínuo, logo é contínua em . - Calcule os valores nos extremos:
- Como
é contínua e e têm sinais opostos, pelo Teorema do Valor Intermediário existe pelo menos um tal que . Ou seja, existe uma solução de em .
Passo 3
Mostrando unicidade da raiz (não existe outra raiz).
- Calcule a derivada de
: - Observação: para todo
tem-se , portanto - Conclusão didática:
é estritamente decrescente em todo . Uma função estritamente decrescente pode cortar o eixo no máximo uma vez. Como já sabemos que existe pelo menos uma raiz, essa raiz é única em .
Passo 4
Explicando o método da bissecção e o critério para “2 dígitos significativos”.
- Ideia do método: parte-se de um intervalo
com ; toma-se o ponto médio e substitui-se um dos extremos por de modo a manter de sinais opostos nas extremidades; repete-se até a precisão desejada. - O enunciado pede 2 dígitos significativos. Para números menores que 1, ter 2 dígitos significativos significa que, ao arredondar, os dois primeiros dígitos não nulos da mantissa estão corretos. Para o número da raiz (que sabemos estar entre 0,5 e 0,6), o valor com duas cifras significativas será
. O intervalo de números que arredondam para com 2 dígitos significativos é aproximadamente . - Critério prático de parada (didático): parar a bissecção quando o intervalo atual inteiro estiver contido em
; então qualquer ponto do intervalo arredonda para com 2 dígitos significativos.
Passo 5
Aplicando bissecção passo a passo (avaliando
e escolhendo subintervalos).
Começamos com ,
,
.
Começamos com
-
. Calcule . Sinal em positivo, então raiz está em . - Novo intervalo
. . . Então raiz em . - Novo intervalo
. . . Usando obtemos . Raiz em . - Novo intervalo
. . . Logo . Raiz em . - Novo intervalo
. . (aprox), então . Raiz em . - Novo intervalo
. . , então . Raiz em . - Novo intervalo
. . Podemos calcular então . Raiz em . - Novo intervalo
. . Calculando então . Raiz em .
Agora o intervalo atual é
, cujo comprimento é
e ambos os extremos estão dentro de
. Portanto qualquer número nesse intervalo arredonda para
com 2 dígitos significativos. Assim a bissecção fornece a aproximação com 2 dígitos significativos.
Passo 6
Conclusões sobre (a) e (b) com justificativas finais.
- (a) A raiz obtida pela bissecção fica no intervalo
. Tomando a aproximação por exemplo pelo ponto médio desse intervalo dá , mas com 2 dígitos significativos arredondamos para . Quanto à existência de outra raiz: não há outra raiz em porque é estritamente decrescente (veja Passo 3), logo a solução é única. - (b) Análise do método do ponto fixo com
e . - Calcule
. Em valor absoluto . - Note que
. A partir de todos os iterados ficam no intervalo porque e é decrescente; de fato . - No intervalo
temos Ou seja, é contração em . - Como
e é uma contração nesse intervalo, o Teorema do Ponto Fixo garante que a sequência gerada por converge para o único ponto fixo (a raiz de ). - Portanto, embora
(logo não se pode aplicar diretamente o teste de contração em um intervalo que contenha 0), o chute produz que cai num intervalo onde é contração; daí em diante a iteração converge. Em palavras: sim, com o método do ponto fixo converge para a raiz (convergência linear com constante aproximadamente ).
- Calcule
Resposta
Existe uma (e apenas uma) solução em
(mais precisamente em
).
a) Pela bissecção a raiz está em , logo com 2 dígitos significativos
. Não existe outra raiz (a solução é única).
b) Sim: a sequência com e
converge (pois
e
é contração em
com constante
).
a) Pela bissecção a raiz está em
b) Sim: a sequência com