Achar os limites:
lim _{n \rightarrow \infty} \frac{n \operatorname{sen} n!}{n^{2}+1}.

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
a_n=\frac{n\operatorname{sen} n!}{n^{2}+1}
quando n\to\infty. Informações relevantes dadas:
  • A variável n cresce sem limite (interpreta-se n como inteiro positivo).
  • O numerador é n\operatorname{sen} n! e o denominador é n^{2}+1.
  • Não há outras restrições; a função \operatorname{sen} é a função seno usual (em radianos).

Passo 2

Ideia geral que vamos usar: a função seno é sempre limitada entre -1 e 1. Ou seja, para todo real x vale
-1 \le \operatorname{sen} x \le 1.
Quando temos uma sequência cujo termo absoluto pode ser dominado por outra sequência que tende a zero, podemos concluir que a sequência original também tende a zero (teorema do confronto ou “squeeze theorem”). Vou aplicar isso passo a passo.

Passo 3

Usando a propriedade de que |\operatorname{sen} x|\le 1 para todo x, obtemos
\left|n\operatorname{sen} n!\right| \le n.
Dividindo ambos os lados por n^{2}+1>0 obtemos
\left|\frac{n\operatorname{sen} n!}{n^{2}+1}\right| \le \frac{n}{n^{2}+1}.

Passo 4

Comparar \dfrac{n}{n^{2}+1} com \dfrac{1}{n}. Como n^{2}+1\ge n^{2} para todo n\ge1, temos
\frac{n}{n^{2}+1} \le \frac{n}{n^{2}} = \frac{1}{n}.
Portanto, para n\ge1,
\left|\frac{n\operatorname{sen} n!}{n^{2}+1}\right| \le \frac{1}{n}.

Passo 5

Sabemos que
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0.
Como o valor absoluto da sequência está sempre menor ou igual a \dfrac{1}{n} e este tende a zero, pelo teorema do confronto concluímos que o valor absoluto da sequência tende a zero. Logo a própria sequência tende a zero.

Passo 6

Conclusão formal: \displaystyle\lim_{n\to\infty}\dfrac{n\operatorname{sen} n!}{n^{2}+1}=0.
Um comentário adicional para aliviar: intuitivamente o numerador cresce na ordem de n (porque |\operatorname{sen} n!|\le1) enquanto o denominador cresce na ordem de n^{2}, então a razão decai como 1/n e vai a zero — portanto nada de bicho de sete cabeças aqui, só controlar a desigualdade e aplicar o teorema do confronto. Força aí nos estudos!

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