Analise quanto a convergência da série sumn=1^+infty sen(n)n^6+14. Indique qual o critério utilizado.

Passo 1

O enunciado pede para estudar a convergência da série
sumn=1^inftysin(n)n^6+14
O conteúdo aqui é análise de séries numéricas, em particular convergência absoluta e teste de comparação com séries-p.

Passo 2

Para usar o teste de comparação em valor absoluto, observamos que para todo n>=1 vale
|sen(n)n^6+14| =|sen(n)|n^6+14 <=1n^6+14 <1n^6

Passo 3

Sabemos que a série
sumn=1^infty1n^6
é convergente, pois é uma série- p com p=6>1. Pelo teste de comparação, como
0<=|sin(n)n^6+14|<1n^6
e sum1/n^6 converge, segue que
sumn=1^infty|sin(n)n^6+14|
também converge.

Passo 4

Como a série dos valores absolutos converge, concluímos que a série original converge absolutamente. Logo, ela converge.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).
Critério utilizado: Teste de comparação com a série- p sum1/n^6.

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