Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Se as séries
e
são divergentes, então a série
é sempre divergente.
b) Toda sequência limitada é converge.
c) Se a sequência
é convergente então a série
também será.
a) Se as séries
b) Toda sequência limitada é converge.
c) Se a sequência
Passo 1
O enunciado apresenta três afirmações sobre convergência de sequências e séries de termos reais. O conteúdo envolve a definição de convergência de sequência, a definição de convergência de série (e, em particular, o teste do termo geral) e o uso de contraexemplos para refutar proposições gerais.
Passo 2
Analisando a afirmação (a): “Se as séries
e
são divergentes, então
é sempre divergente.”
Contraexemplo: seja
Contraexemplo: seja
Então
e
ambas divergentes. Porém
implica
que é convergente. Logo, a afirmação é falsa.
Passo 3
Analisando a afirmação (b): “Toda sequência limitada é convergente.”
De fato, sequência limitada significa que existe tal que
para todo
, mas isso não garante convergência. Um contraexemplo clássico é
De fato, sequência limitada significa que existe
Essa sequência satisfaz
(está limitada), mas não possui limite quando
porque oscila entre
e
. Portanto, a afirmação é falsa.
Passo 4
Analisando a afirmação (c): “Se a sequência
é convergente então a série
também será.”
Para que converja é necessário (teste do termo geral) que
Para que
Se
converge a um limite
, a série diverge imediatamente. Mesmo quando
, a série pode divergir, como no exemplo da série harmônica:
porém
é divergente. Logo, a afirmação é falsa.
Resposta
(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.