Verifique se as afirmações são verdadeiras ou falsas. Justifique.
a) Se as séries sumn=1^+infty an e sumn=1^+infty bn são divergentes, então a série sumn=1^+infty an+bn é sempre divergente.
b) Toda sequência limitada é converge.
c) Se a sequência an é convergente então a série sumn=1^+infty an também será.

Passo 1

O enunciado apresenta três afirmações sobre convergência de sequências e séries de termos reais. O conteúdo envolve a definição de convergência de sequência, a definição de convergência de série (e, em particular, o teste do termo geral) e o uso de contraexemplos para refutar proposições gerais.

Passo 2

Analisando a afirmação (a): “Se as séries sumn=1^+inftyan e sumn=1^+inftybn são divergentes, então sumn=1^+infty(an+bn) é sempre divergente.”
Contraexemplo: seja
an=1, bn=-1forall n
Então
sumn=1^Nan=sumn=1^N1=Nto+infty
e
sumn=1^Nbn=sumn=1^N(-1)=-Nto -infty,
ambas divergentes. Porém
an+bn=0forall n
implica
sumn=1^+infty(an+bn)=sumn=1^+infty0=0,
que é convergente. Logo, a afirmação é falsa.

Passo 3

Analisando a afirmação (b): “Toda sequência limitada é convergente.”
De fato, sequência limitada significa que existe M>0 tal que |an|<= M para todo n, mas isso não garante convergência. Um contraexemplo clássico é
an=(-1)^n
Essa sequência satisfaz |an|<=1 (está limitada), mas não possui limite quando nto+infty porque oscila entre 1 e -1. Portanto, a afirmação é falsa.

Passo 4

Analisando a afirmação (c): “Se a sequência an é convergente então a série sumn=1^+inftyan também será.”
Para que sum an converja é necessário (teste do termo geral) que
anto0quando nto+infty
Se an converge a um limite Lneq0, a série diverge imediatamente. Mesmo quando anto0, a série pode divergir, como no exemplo da série harmônica:
an=1nLongrightarrow anto0,
porém
sumn=1^+infty1n
é divergente. Logo, a afirmação é falsa.

Resposta

(a) Falsa.
(b) Falsa.
(c) Falsa.

Exercícios relacionados