Seja uma viga engastada e apoiada com carregamento triangular. A equação resultante da curva elástica é dada por:
y=w0120 E I L(-x^5+2 L^2 x^3-L^4 x)
Determine o ponto de deflexão máxima e o valor dessa deflexão.
Dados: L=4 m, I=0,3.10^-4 m^4, E=2,1.10^11 N / m^2, w0=12.10^4 N

Passo 1

Resumindo: temos uma viga engastada em x=0 e apoiada em x=L, com carregamento triangular cuja curva elástica é
y=w0120,E,I,Ll(-x^5+2L^2x^3-L^4xr)
Queremos achar o ponto x que maximiza a deflexão e o valor de y nesse ponto.

Passo 2

Para encontrar o máximo de y, calculamos
dydx =w0120EI,Ll(-5x^4+6L^2x^2-L^4r)
e igualamos a zero para achar os pontos críticos.

Passo 3

Da equação
-5x^4+6L^2x^2-L^4=0
passamos a
5x^4-6L^2x^2+L^4=0
e fazemos u=x^2, obtendo
5u^2-6L^2u+L^4=0 Longrightarrow u=6L^2pmraiz36L^4-20L^410 =6L^2pm4L^210,
isto é,
u1=L^2, u2=0,2,L^2

Passo 4

As soluções para x são
x=L e x=Lraiz5
Como em x=L a viga está apoiada ( y=0), o ponto de deflexão máxima é
xmax=Lraiz5

Passo 5

Substituindo x=L/raiz5 em y, escrevemos a=1/raiz5 e temos
ymax =w0120EI,Ll[-(aL)^5+2L^2(aL)^3-L^4(aL)r] =w0L^4120EIl(-a^5+2a^3-ar)
Como a=1/raiz5, calcula-se
-a^5+2a^3-a =-125raiz5+25raiz5-1raiz5 =-0,64raiz5 approx-0,2864

Passo 6

Agora inserimos os valores numéricos:
L=4, I=0,3times10^-4, E=2,1times10^11, w0=12times10^4
Calcula-se primeiro
w0L^4120EI =12times10^4times4^4120times2,1times10^11times0,3times10^-4 approx0,0406,
de modo que
ymax =0,0406times(-0,2864) approx-0,01164 m

Resposta

O ponto de deflexão máxima ocorre em
x=Lraiz5approx1,79 m
e o valor da deflexão é
ymaxapprox-0,0116 m
(aproximadamente 1,16 cm para baixo).

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