Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.
Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.
Passo 1
Beleza, então o enunciado manda a gente analisar se esta frase é verdadeira ou falsa:
“Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.”
Matéria: interpolação polinomial (forma de Newton) e seu erro.
O que vamos precisar:
“Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.”
Matéria: interpolação polinomial (forma de Newton) e seu erro.
O que vamos precisar:
- Saber a fórmula do polinômio interpolador de Newton;
- Conhecer a expressão do termo de resto (erro) na interpolação;
- Entender que aumentar grau nem sempre diminui o erro (fenômeno de Runge, distribuição de nós, etc.).
Passo 2
Teoria da interpolação de Newton e fórmula do erro
- Polinômio interpolador de Newton de grau
em nós : onde são diferenças divididas. - O termo de erro (resto) ao interpolar
por em um ponto é dado por para algum no intervalo que contém e os nós.
Passo 3
Por que “maior grau = menor erro” não vale sempre
- Olha só: o termo
depende da derivada de ordem , que pode crescer muito conforme aumenta. - Além disso, o fator
fica maior e pode oscilar bastante, principalmente se os nós forem equidistantes e grande (fenômeno de Runge). - Na prática: se você interpolar a famosa função de Runge
em por nós equidistantes, ao aumentar o polinômio oscila e o erro cresce em certas regiões!
Passo 4
Conclusão
- Mesmo sabendo da fórmula de erro, não dá pra afirmar que quanto maior o grau menor o erro em todo caso.
- Para alguns
e escolha de nós, o erro pode até aumentar com .
Resposta
A sentença é falsa. Quanto maior o grau do polinômio de Newton, nem sempre o erro diminui; há casos em que ele aumenta devido ao crescimento das derivadas de ordem superior e ao fenômeno de Runge com nós mal distribuídos.