Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.

Passo 1

Beleza, então o enunciado manda a gente analisar se esta frase é verdadeira ou falsa:
“Ao aproximarmos uma função através do polinômio interpolador de Newton, podemos concluir que quanto maior o grau deste polinômio menor será o erro desta aproximação.”
Matéria: interpolação polinomial (forma de Newton) e seu erro.
O que vamos precisar:
  • Saber a fórmula do polinômio interpolador de Newton;
  • Conhecer a expressão do termo de resto (erro) na interpolação;
  • Entender que aumentar grau nem sempre diminui o erro (fenômeno de Runge, distribuição de nós, etc.).

Passo 2

Teoria da interpolação de Newton e fórmula do erro
  1. Polinômio interpolador de Newton de grau Pn(x) = f[x0] + f[x0,x1],(x-x0) + cdots + f[x0,dots,xn],(x-x0)cdots(x-xn-1), em nós Rn(x) = f(x) - Pn(x) = f^(n+1)(xi)(n+1)!,(x - x0)(x - x1)cdots(x - xn), : onde são diferenças divididas.
  2. O termo de erro (resto) ao interpolar por em um ponto é dado por para algum no intervalo que contém e os nós.

Passo 3

Por que “maior grau = menor erro” não vale sempre
  • Olha só: o termo f(x)=11+25x^2 depende da derivada de ordem , que pode crescer muito conforme aumenta.
  • Além disso, o fator fica maior e pode oscilar bastante, principalmente se os nós forem equidistantes e grande (fenômeno de Runge).
  • Na prática: se você interpolar a famosa função de Runge em por nós equidistantes, ao aumentar o polinômio oscila e o erro cresce em certas regiões!

Passo 4

Conclusão
  • Mesmo sabendo da fórmula de erro, não dá pra afirmar que quanto maior o grau menor o erro em todo caso.
  • Para alguns e escolha de nós, o erro pode até aumentar com .

Resposta

A sentença é falsa. Quanto maior o grau do polinômio de Newton, nem sempre o erro diminui; há casos em que ele aumenta devido ao crescimento das derivadas de ordem superior e ao fenômeno de Runge com nós mal distribuídos.

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