Considere integral2^4 raiz1+x^2 d x. Para as contas a seguir, considere duas casas após a virgula e use arredondamento.
Aproxime o valor dessa integral usando regra 1 / 3 de Simpson fechada composta com 5 pontos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me pediu para calcular a integral de $ \sqrt{1 + x^2} $ de 2 a 4 usando a Regra do 1/3 de Simpson com 5 pontos. Isso faz parte do estudo de integração numérica, onde a gente aproxima o valor de integrais que são difíceis de resolver exatamente. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a Regra de Simpson, dividir o intervalo em partes iguais e calcular os valores da função nos pontos certos.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros que precisamos:
  • Limites de integração: $ a = 2 $ e $ b = 4 $
  • Número de pontos: 5, o que significa que teremos $ n = 4 $ intervalos (já que $ n = $ pontos - 1)
  • Passo (h): é o tamanho de cada intervalo, calculado por $ h = \frac{b - a}{n} $
Vamos calcular o passo:
a = 2

Passo 3

Agora, vamos determinar os pontos de avaliação (x₀, x₁, x₂, x₃, x₄):
x0 &= a = 2 x1 &= a + h = 2 + 0,5 = 2,5 x2 &= a + 2h = 2 + 2 times 0,5 = 3,0 x3 &= a + 3h = 2 + 3 times 0,5 = 3,5 x4 &= b = 4

Passo 4

Em seguida, vamos calcular os valores da função $ f(x) = \sqrt{1 + x^2} $ em cada um desses pontos:
f(x) = raiz1 + x^2

Passo 5

Agora, aplicamos a Regra do 1/3 de Simpson Composta. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) dx approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores que calculamos:
Integral &approx 0,53 [ 2,24 + 4 times 2,69 + 2 times 3,16 + 4 times 3,64 + 4,12 ] &= 0,53 [ 2,24 + 10,76 + 6,32 + 14,56 + 4,12 ] &= 0,53 times 37,00 &= 0,5 times 37,003 &= 18,53 &approx 6,17

Resposta

O valor aproximado da integral usando a Regra do $ \frac{1}{3} $ de Simpson fechada composta com 5 pontos é 6,17.

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