Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio obtido pela técnica de mínimos quadrados é sempre diferente do polinomio interpolador de Newton destes dados.
Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio obtido pela técnica de mínimos quadrados é sempre diferente do polinomio interpolador de Newton destes dados.
Passo 1
Vamos analisar a seguinte afirmação: “Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio obtido pela técnica de mínimos quadrados é sempre diferente do polinômio interpolador de Newton destes dados.” Para isso, vamos utilizar conceitos de interpolação polinomial e ajuste por mínimos quadrados. Precisaremos entender como cada método funciona e quando eles podem gerar polinômios iguais ou diferentes.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o polinômio interpolador de Newton. Esse polinômio é construído de forma que passe exatamente por todos os pontos do conjunto de dados. Se temos $ n $ pontos, o polinômio terá grau $ n-1 $. A interpolação garante uma correspondência perfeita entre os pontos.
Passo 3
Agora, vamos ver o que é a técnica de mínimos quadrados. Esse método serve para encontrar um polinômio que se ajusta aos dados, mas sem a exigência de passar exatamente por todos os pontos. Em vez disso, ele minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados e os valores previstos pelo polinômio. Esse polinômio pode ter grau menor que $ n-1 $, dependendo do ajuste necessário.
Passo 4
A afirmação diz que, para qualquer conjunto de dados, os dois polinômios são sempre diferentes. No entanto, há um caso especial: se todos os pontos de dados já estão perfeitamente alinhados em um polinômio de grau $ n-1 $ ou menor, tanto a interpolação de Newton quanto os mínimos quadrados gerarão o mesmo polinômio. Isso ocorre porque, nesse cenário, o polinômio que passa exatamente por todos os pontos também é o melhor ajuste no sentido dos mínimos quadrados.
Passo 5
Portanto, a afirmação de que os polinômios são sempre diferentes não é verdadeira em todas as situações. Existe pelo menos um caso em que eles são iguais, o que confirma que a afirmação é falsa.
Resposta
A afirmação é falsa.