Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio interpolador de Newton sempre é equivalente ao polinómio interpolador de Lagrange.

Passo 1

Beleza, a questão diz assim: “Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio interpolador de Newton sempre é equivalente ao polinómio interpolador de Lagrange.” Ou seja, estamos na matéria de interpolação polinomial e precisamos entender se essas duas fórmulas — Newton e Lagrange — resultam no mesmo polinômio sempre. Para isso, vamos rever o que é polinômio interpolador, o teorema da unicidade e as duas formas de escrever esse polinômio.

Passo 2

Antes de mais nada, o que é interpolação polinomial?
– Dado um conjunto de P(xi) = yi, i=0,1,dots,n pontos com abscissas todas diferentes ( se ), o teorema da unicidade diz: existe um e apenas um polinômio de grau no máximo tal que
Esse é o ponto chave: qualquer forma de construir esse polinômio — seja Lagrange ou Newton — vai chegar ao mesmo , porque não pode haver dois polinômios diferentes de grau passando por todos os pontos.

Passo 3

Vamos ver rapidinho as duas fórmulas, pra sentir o cheiro do troço:
  1. Interpolação de Lagrange:
P!L(x) ;=;sumi=0^n yi,elli(x), onde elli(x) = prodsubstack0<= j<= njneq i x - xj,xi - xj,
  1. Interpolação de Newton:
P!N(x) = a0 + a1,(x - x0) + a2,(x - x0)(x - x1) + cdots + an,(x - x0)cdots(x - xn-1),
onde os coeficientes são diferenças divididas dos .
As duas fórmulas têm a mesma finalidade: garantir que para todo e que .

Passo 4

Por que são equivalentes?
  1. Ambos têm grau no máximo P!L(x) = P!N(x)forall x .
  2. Ambos coincidem nos mesmos pontos .
  3. Se você subtrair um do outro, a diferença é um polinômio de grau que tem raízes ( ).
  4. O único polinômio de grau que tem mais de raízes é o polinômio zero. Logo, , ou seja,

Resposta

A sentença é verdadeira, pois, pelo teorema da unicidade do polinômio interpolador, Newton e Lagrange sempre geram o mesmo polinômio que passa pelos pontos dados.

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