Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio interpolador de Newton sempre é equivalente ao polinómio interpolador de Lagrange.
Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio interpolador de Newton sempre é equivalente ao polinómio interpolador de Lagrange.
Passo 1
Beleza, a questão diz assim: “Para um conjunto de dados arbitrário, o polinômio interpolador de Newton sempre é equivalente ao polinómio interpolador de Lagrange.” Ou seja, estamos na matéria de interpolação polinomial e precisamos entender se essas duas fórmulas — Newton e Lagrange — resultam no mesmo polinômio sempre. Para isso, vamos rever o que é polinômio interpolador, o teorema da unicidade e as duas formas de escrever esse polinômio.
Passo 2
Antes de mais nada, o que é interpolação polinomial?
– Dado um conjunto de pontos
com abscissas todas diferentes (
se
), o teorema da unicidade diz: existe um e apenas um polinômio
de grau no máximo
tal que
– Dado um conjunto de
Esse é o ponto chave: qualquer forma de construir esse polinômio — seja Lagrange ou Newton — vai chegar ao mesmo
, porque não pode haver dois polinômios diferentes de grau
passando por todos os
pontos.
Passo 3
Vamos ver rapidinho as duas fórmulas, pra sentir o cheiro do troço:
- Interpolação de Lagrange:
- Interpolação de Newton:
onde os coeficientes
são diferenças divididas dos
.
As duas fórmulas têm a mesma finalidade: garantir que
para todo
e que
.
Passo 4
Por que são equivalentes?
- Ambos têm grau no máximo
. - Ambos coincidem nos mesmos
pontos . - Se você subtrair um do outro, a diferença
é um polinômio de grau que tem raízes ( ). - O único polinômio de grau
que tem mais de raízes é o polinômio zero. Logo, , ou seja,
Resposta
A sentença é verdadeira, pois, pelo teorema da unicidade do polinômio interpolador, Newton e Lagrange sempre geram o mesmo polinômio que passa pelos
pontos dados.