Suponha que queremos achar a spline cúbica que passa pelos pontos x0=1, x1=1.5 e x2=2.5 com f(x0)=0, f(x1)=2, f(x2)=1.5. Lembrando que a formula e si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)^2+di(x-xi)^3 para i=0,1 e x in|xi, xi+1|, responda ao que se pede
Assumindo que s0^prime(x1)=s1^prime(x1), mostre que b0+c0+0.75 d0=b1.

Passo 1

Beleza, então o que temos aqui é uma spline cúbica por partes que une três pontos:
  • si(x)=ai + bi(x - xi) + ci(x - xi)^2 + di(x - xi)^3 com s0'(x1)=s1'(x1),
  • b0 + c0 + 0.75,d0 ;=; b1 com
  • com
Cada trecho da spline é dado por
para em e em .
O que queremos mostrar é que, se exigimos continuidade da derivada em , ou seja
então isso implica

Passo 2

Vamos calcular a derivada de cada trecho.
Para s0'(x) = b0 + 2,c0,(x - x0) + 3,d0,(x - x0)^2 ,
s0'(x1) = b0 + 2,c0,(0.5) + 3,d0,(0.5)^2 = b0 + c0 + 3,d0cdot 0.25 = b0 + c0 + 0.75,d0
A gente quer avaliar isso em . Note que . Então

Passo 3

Agora a derivada de s1'(x) = b1 + 2,c1,(x - x1) + 3,d1,(x - x1)^2 é
s1'(x1) = b1
Em b0 + c0 + 0.75,d0 = b1 temos , logo
Impondo

Resposta

b_0 + c_0 + 0.75,d_0 = b_1

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