Suponha que queremos achar a spline cúbica que passa pelos pontos x0=1, x1=1.5 e x2=2.5 com f(x0)=0, f(x1)=2, f(x2)=1.5. Lembrando que a formula e si(x)=ai+bi(x-xi)+ci(x-xi)^2+di(x-xi)^3 para i=0,1 e x in|xi, xi+1|, responda ao que se pede
Assumindo que s0^prime prime(x1)=s1^prime prime(x1), mostre que c0+1.5 d0=c1.

Passo 1

Beleza, então o exercício é sobre interpola­ção por spline cúbica. A gente tem três pontos
si(x)=ai + bi(x-xi) + ci(x-xi)^2 + di(x-xi)^3, i=0,1 , s0''(x1)=s1''(x1), e c0 + 1.5,d0 = c1 .
Cada pedaço da spline é um polinômio cúbico
O que precisamos usar é a condição de continuidade da segunda derivada em , isto é
e daí mostrar que

Passo 2

Para aplicar essa condição, primeiro a gente calcula a segunda derivada geral de si'(x) = bi + 2ci(x-xi) + 3di(x-xi)^2 .
  1. A primeira derivada é
si''(x) = 2ci + 6di(x-xi)
  1. A segunda derivada fica
s0''(x1) = 2c0 + 6d0,(x1 - x0) = 2c0 + 6d0cdot 0.5 = 2c0 + 3d0
Agora avalia em s1''(x1) = 2c1 + 6d1cdot 0 = 2c1 :
  • Para 2c0 + 3d0 = 2c1 : , , logo .
  • Para : .
Como a condição é , temos
Dividindo tudo por 2 dá exatamente

Resposta

c0 + 1.5,d0 = c1

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