Suponha que queremos achar a spline cúbica que passa pelos pontos
,
e
com
. Lembrando que a formula e
para
e
, responda ao que se pede
Assumindo que
, mostre que
.
Assumindo que
Passo 1
Beleza, então o exercício é sobre interpolação por spline cúbica. A gente tem três pontos
,
e
.
Cada pedaço da spline é um polinômio cúbico
Cada pedaço da spline é um polinômio cúbico
O que precisamos usar é a condição de continuidade da segunda derivada em
, isto é
e daí mostrar que
Passo 2
Para aplicar essa condição, primeiro a gente calcula a segunda derivada geral de
.
- A primeira derivada é
- A segunda derivada fica
Agora avalia em
:
-
Para
: , , logo . -
Para
: .
Como a condição é
, temos
Dividindo tudo por 2 dá exatamente