Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
A regra 
  de Simpson e a quadratura de Gauss-Legendre com dois nós, 
  e 
 , calcula de forma exata a integral de polinômios de grau até três.
A regra
Passo 1
O enunciado pede pra gente decidir se duas fórmulas de quadratura numérica – a regra 1/3 de Simpson e a quadratura de Gauss–Legendre com dois nós 
  e 
  – são capazes de calcular de modo exato a integral de qualquer polinômio de grau até 3.
Conteúdo envolvido: quadraturas numéricas e grau de precisão (ou exatidão) de uma regra. Precisamos entender o que é “grau de precisão” e conhecer as propriedades de cada regra para ver até que grau de polinômio elas são exatas.
Conteúdo envolvido: quadraturas numéricas e grau de precisão (ou exatidão) de uma regra. Precisamos entender o que é “grau de precisão” e conhecer as propriedades de cada regra para ver até que grau de polinômio elas são exatas.
Passo 2
Teoria do grau de precisão: dizemos que uma regra de quadratura é exata para polinômios de grau até 
  se, para todo polinômio 
  com 
 , a soma de pesos vezes os valores de 
  nos nós coincide com a integral exata. Esse 
  é chamado de grau de precisão.
Regra 1/3 de Simpson (num intervalo 
 ):
– Nós: , 
 , 
 .
– Passo .
– Fórmula:
– Nós:
– Passo
– Fórmula:
Fato conhecido (e que se demonstra em livros de Cálculo Numérico) é que essa regra tem grau de precisão 
 , isto é, integra exatamente todo polinômio até grau 3.
Passo 3
Quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós (no padrão 
 ):
– Nós:
– Nós:
– Pesos:
– Fórmula:
Para a quadratura de Gauss com 
  nós, o grau de precisão é sempre 
 . Aqui 
 , então 
 . Ou seja, integra exatamente polinômios de grau até 3.
Resposta
Ambas as afirmações são verdadeiras:
- a regra 
de Simpson tem grau de precisão 3,  - a quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós tem grau de precisão 
. Portanto, as duas calculam de forma exata a integral de polinômios de grau até três.