Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
A regra 1 / 3 de Simpson e a quadratura de Gauss-Legendre com dois nós, x0 e x1, calcula de forma exata a integral de polinômios de grau até três.

Passo 1

O enunciado pede pra gente decidir se duas fórmulas de quadratura numérica – a regra 1/3 de Simpson e a quadratura de Gauss–Legendre com dois nós e – são capazes de calcular de modo exato a integral de qualquer polinômio de grau até 3.
Conteúdo envolvido: quadraturas numéricas e grau de precisão (ou exatidão) de uma regra. Precisamos entender o que é “grau de precisão” e conhecer as propriedades de cada regra para ver até que grau de polinômio elas são exatas.

Passo 2

Teoria do grau de precisão: dizemos que uma regra de quadratura é exata para polinômios de grau até integrala^b f(x),dx approx h3l[f(x0)+4f(x1)+f(x2)r] se, para todo polinômio com , a soma de pesos vezes os valores de nos nós coincide com a integral exata. Esse é chamado de grau de precisão.
Regra 1/3 de Simpson (num intervalo ):
– Nós: , , .
– Passo .
– Fórmula:
Fato conhecido (e que se demonstra em livros de Cálculo Numérico) é que essa regra tem grau de precisão , isto é, integra exatamente todo polinômio até grau 3.

Passo 3

Quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós (no padrão x0=-1raiz3, x1=+1raiz3 ):
– Nós:
w0=1, w1=1
– Pesos:
integral-1^1 f(x),dx approx f!l(-tfrac1raiz3r)+f!l(tfrac1raiz3r)
– Fórmula:
Para a quadratura de Gauss com nós, o grau de precisão é sempre . Aqui , então . Ou seja, integra exatamente polinômios de grau até 3.

Resposta

Ambas as afirmações são verdadeiras:
  1. a regra de Simpson tem grau de precisão 3,
  2. a quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós tem grau de precisão . Portanto, as duas calculam de forma exata a integral de polinômios de grau até três.

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