Analise se as sentenças abaixe são verdadeiras ou falsas- Justifique:
A regra
de Simpson e a quadratura de Gauss-Legendre com dois nós,
e
, calcula de forma exata a integral de polinômios de grau até três.
A regra
Passo 1
O enunciado pede pra gente decidir se duas fórmulas de quadratura numérica – a regra 1/3 de Simpson e a quadratura de Gauss–Legendre com dois nós
e
– são capazes de calcular de modo exato a integral de qualquer polinômio de grau até 3.
Conteúdo envolvido: quadraturas numéricas e grau de precisão (ou exatidão) de uma regra. Precisamos entender o que é “grau de precisão” e conhecer as propriedades de cada regra para ver até que grau de polinômio elas são exatas.
Conteúdo envolvido: quadraturas numéricas e grau de precisão (ou exatidão) de uma regra. Precisamos entender o que é “grau de precisão” e conhecer as propriedades de cada regra para ver até que grau de polinômio elas são exatas.
Passo 2
Teoria do grau de precisão: dizemos que uma regra de quadratura é exata para polinômios de grau até
se, para todo polinômio
com
, a soma de pesos vezes os valores de
nos nós coincide com a integral exata. Esse
é chamado de grau de precisão.
Regra 1/3 de Simpson (num intervalo
):
– Nós: ,
,
.
– Passo .
– Fórmula:
– Nós:
– Passo
– Fórmula:
Fato conhecido (e que se demonstra em livros de Cálculo Numérico) é que essa regra tem grau de precisão
, isto é, integra exatamente todo polinômio até grau 3.
Passo 3
Quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós (no padrão
):
– Nós:
– Nós:
– Pesos:
– Fórmula:
Para a quadratura de Gauss com
nós, o grau de precisão é sempre
. Aqui
, então
. Ou seja, integra exatamente polinômios de grau até 3.
Resposta
Ambas as afirmações são verdadeiras:
- a regra
de Simpson tem grau de precisão 3, - a quadratura de Gauss–Legendre com 2 nós tem grau de precisão
. Portanto, as duas calculam de forma exata a integral de polinômios de grau até três.