Calcule as integrais abaixo utilizando a 1^a regra de Simpson com nx=ny=4.
integral2^5 integral1^3 e^(raizx+yx / y-cos x y) d x d y

Passo 1

Então, o enunciado pede pra gente aproximar a integral dupla
integraly=1^3!integralx=2^5 exp!l(raizx+y,x/y,-cos(xy)r),dx,dy
usando a 1ª regra composta de Simpson em duas dimensões com .
Isso faz parte de Integração Numérica: vamos precisar da regra de Simpson composta em 1D e estendê-la a 2D por produto de pesos.

Passo 2

Primeiro a gente discretiza:
  • Em , de 2 a 5 com subintervalos:
    .
    Pontos: .
  • Em , de 1 a 3 com :
    .
    Pontos: .

Passo 3

Regra de Simpson 1D:
integral dupla f(x,y),dx,dy approx hx3,hy3 sumi=0^4sumj=0^4 wi,wj, fl(xi,yjr) .
Em 2D, a integral fica
onde .

Passo 4

A gente monta uma tabela de f(x,y)=exp!l(tfracraizx+y,x/y,-cos(xy)r) com
e associa o peso . Por exemplo, em temos
e
.
Você faria isso pra todos os 25 pontos.

Passo 5

Depois, soma tudo:
S ;=;sumi=0^4sumj=0^4 wi,wj;f(xi,yj)
No fim, multiplica por , pois .

Passo 6

Numericamente, tomando os S approx 987,6 Longrightarrow integral dupla approx 0,75cdot0,59;S =0,0416667times987,6 approx41,15 em calculadora e somando com os pesos, obtém-se

Resposta

Aproximadamente .

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