Analise se os sistemas abaixo possuem solução pelo método de Gauss Seidel. Caso não tenha, quais as modificações que podem ser feitas? Resolva o sistema com 3 iterações.
Passo 1
O enunciado pede para analisarmos se o sistema
pode ser resolvido por Gauss–Seidel, quais modificações seriam necessárias se não convergir, e então executar três iterações do método. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Gauss–Seidel, cujo critério clássico de convergência é a dominância diagonal ou o critério de Sassenfeld.
Passo 2
Checamos a dominância diagonal linha a linha. A matriz dos coeficientes é
A= 1 & 2 & -1 3 & 2 & 0 1 & 0 & 1
Para cada linha i verificamos se lvert aiirvert>=sumjneq ilvert aijrvert:
– Linha 1: lvert a11rvert=1 e lvert a12rvert+lvert a13rvert=2+1=3, não domina.
– Linha 2: lvert a22rvert=2 e lvert a21rvert+lvert a23rvert=3+0=3, não domina.
– Linha 3: lvert a33rvert=1 e lvert a31rvert+lvert a32rvert=1+0=1, domina apenas fracamente.
Logo, não há dominância estrita de nenhuma linha.
Passo 3
Aplicamos o critério de Sassenfeld para ver se, mesmo sem dominância estrita, a iteração converge. Definimos
Como max(beta1,beta2,beta3)=4,5>1, também pela Sassenfeld o método não converge para esse sistema.
Passo 4
Conclusão: o sistema não satisfaz as condições de convergência de Gauss–Seidel (nem dominância diagonal nem Sassenfeld).
Modificações possíveis para forçar convergência incluem:
Reordenar as equações — mas não existe permutação que torne A estritamente diagonal dominante.
Escalonar (reescala) as linhas para reforçar os elementos diagonais — costuma falhar aqui.
Introduzir relaxação (método SOR) escolhendo um fator omegain(0,2) para acelerar e estabilizar a convergência.
Passo 5
Mesmo sem convergência garantida, fazemos três iterações de Gauss–Seidel puro, com chute inicial (x1^(0),x2^(0),x3^(0))=(0,0,0). A fórmula de iteração é
Vemos que os valores estão crescendo em módulo, confirmando a não convergência.
Resposta
O sistema não converge pelo método de Gauss–Seidel puro, pois não é estritamente diagonal dominante e falha no critério de Sassenfeld. Para torná-lo convergente, pode-se usar o método SOR (introduzir relaxação com omeganeq1). Após três iterações sem relaxação, obtivemos