Analise se os sistemas abaixo possuem solução pelo método de Gauss Seidel. Caso não tenha, quais as modificações que podem ser feitas? Resolva o sistema com 3 iterações.

Passo 1

O enunciado pede para analisarmos se o sistema
x1+2x2-x3=1, 3x1+2x2=2, x1+x3=3
pode ser resolvido por Gauss–Seidel, quais modificações seriam necessárias se não convergir, e então executar três iterações do método. O conteúdo envolvido é o método iterativo de Gauss–Seidel, cujo critério clássico de convergência é a dominância diagonal ou o critério de Sassenfeld.

Passo 2

Checamos a dominância diagonal linha a linha. A matriz dos coeficientes é
A= 1 & 2 & -1 3 & 2 & 0 1 & 0 & 1
Para cada linha i verificamos se lvert aiirvert>=sumjneq ilvert aijrvert:
– Linha 1: lvert a11rvert=1 e lvert a12rvert+lvert a13rvert=2+1=3, não domina.
– Linha 2: lvert a22rvert=2 e lvert a21rvert+lvert a23rvert=3+0=3, não domina.
– Linha 3: lvert a33rvert=1 e lvert a31rvert+lvert a32rvert=1+0=1, domina apenas fracamente.
Logo, não há dominância estrita de nenhuma linha.

Passo 3

Aplicamos o critério de Sassenfeld para ver se, mesmo sem dominância estrita, a iteração converge. Definimos
beta1=|2|+|-1||1|=3, beta2=|3|beta1+|0||2|=3cdot32=4,5, beta3=|1|beta1+|0|beta2|1|=3
Como max(beta1,beta2,beta3)=4,5>1, também pela Sassenfeld o método não converge para esse sistema.

Passo 4

Conclusão: o sistema não satisfaz as condições de convergência de Gauss–Seidel (nem dominância diagonal nem Sassenfeld).
Modificações possíveis para forçar convergência incluem:
  1. Reordenar as equações — mas não existe permutação que torne A estritamente diagonal dominante.
  2. Escalonar (reescala) as linhas para reforçar os elementos diagonais — costuma falhar aqui.
  3. Introduzir relaxação (método SOR) escolhendo um fator omegain(0,2) para acelerar e estabilizar a convergência.

Passo 5

Mesmo sem convergência garantida, fazemos três iterações de Gauss–Seidel puro, com chute inicial (x1^(0),x2^(0),x3^(0))=(0,0,0). A fórmula de iteração é
x1^(k+1)=1-2,x2^(k)+x3^(k), x2^(k+1)=2-3,x1^(k+1)2, x3^(k+1)=3 - x1^(k+1)
Iteração 1 ( k=0):
x1^(1)=1, x2^(1)=2-3cdot12=-tfrac12, x3^(1)=3-1=2
Iteração 2 ( k=1):
x1^(2)=1-2(-tfrac12)+2=4, x2^(2)=2-3cdot42=-5, x3^(2)=3-4=-1
Iteração 3 ( k=2):
x1^(3)=1-2(-5)+(-1)=10, x2^(3)=2-3cdot102=-14, x3^(3)=3-10=-7
Vemos que os valores estão crescendo em módulo, confirmando a não convergência.

Resposta

O sistema não converge pelo método de Gauss–Seidel puro, pois não é estritamente diagonal dominante e falha no critério de Sassenfeld. Para torná-lo convergente, pode-se usar o método SOR (introduzir relaxação com omeganeq1). Após três iterações sem relaxação, obtivemos
(x1^(1),x2^(1),x3^(1))=(1,,-tfrac12,,2), (x1^(2),x2^(2),x3^(2))=(4,,-5,,-1), (x1^(3),x2^(3),x3^(3))=(10,,-14,,-7)

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