a) Resolva pelos métodos de Gauss Jacobi e Gauss Seidel, usando precisão de 2 casas decimais e com X0=(c1.6 -2.7 0.9 -2.4) e epsilon=10^-2.
b) Sabendo que a solução exata é X=(c2 -3 1 -2), qual dos dois métodos seria melhor? Porque?
c) Calcule o erro relativo entre a melhor solução e a solução exata.
pelos métodos iterativos de Gauss–Jacobi e Gauss–Seidel, usando aproximação a duas casas decimais, vetor inicial X^(0)=(,1,60,,-2,70,,0,90,,-2,40)^T
e critério de parada epsilon=10^-2. A solução exata é X=(,2,,-3,,1,,-2)^T.
Passo 2
Nós escrevemos as fórmulas de iteração isolando cada xi na sua equação:
No método de Gauss–Jacobi usamos sempre os valores da iteração anterior para calcular todos os componentes da próxima iteração. No método de Gauss–Seidel usamos os valores já atualizados dentro da mesma iteração.
Passo 3
Aplicando Gauss–Jacobi com arredondamento a duas casas em cada iteração:
Na iteração 4 a variação máxima caiu a zero, atendendo epsilon.
Passo 5
Comparando as duas séries de iterações, vemos que Gauss–Seidel atinge a solução exata (na precisão de duas casas) já em k=3 enquanto Jacobi só em k=4. Portanto, Gauss–Seidel foi mais rápido, pois aproveita as atualizações intermediárias dentro de cada iteração para acelerar a convergência.
Passo 6
A melhor solução aproximada é X^(GS)=(2,00,,-3,00,,1,00,,-2,00)
e a solução exata é X=(2,,-3,,1,,-2).
O erro absoluto em cada componente é zero, logo o erro relativo também é zero:
|X^(GS)-X||X|=0
Resposta
a)
Gauss–Jacobi: X^(4)=(2,00,,-3,00,,1,00,,-2,00)
Gauss–Seidel: X^(4)=(2,00,,-3,00,,1,00,,-2,00)
b) O método de Gauss–Seidel, pois convergiu em menos iterações efetivas (atingiu a solução exata já em k=3).