Determine por meio do MSC, corretamente, até a quarta casa decimal, a raiz positiva da equação .

Passo 1

O enunciado pede a raiz positiva de
31+x^2 - 12x^3 = 0
pelo método da secante (MSC). Vamos primeiro definir
f(x) = 31+x^2 - 12x^3
e transformar em polinomial para facilitar os cálculos.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por 2x^3(1+x^2) obtemos
6x^3 - x^2 - 1 = 0,
logo podemos trabalhar com
f(x)=6x^3-x^2-1
Como f(0,5)=6cdot(0,5)^3-(0,5)^2-1=-0,5<0 e f(1)=4>0, há uma raiz em (0,5,1).
Escolhemos, então, x0=0,5 e x1=1.

Passo 3

A fórmula da secante é
xn+1 = xn - f(xn),xn-xn-1f(xn)-f(xn-1)
Aplicando aos pares (x0,x1) e (x1,x2) obtemos:
x2 = 1 - 4cdot1-0,54 - (-0,5) = 0,5556, f(x2)approx -0,2798,
x3 = 0,5556 - (-0,2798)cdot0,5556-1-0,2798 - 4 = 0,5846, f(x3)approx -0,1429

Passo 4

Continuando as iterações até |xn+1-xn|<10^-4:
x4approx0,6149,;f(x4)approx0,0175;
x5approx0,6116,;f(x5)approx-0,0016;
x6approx0,61189,;f(x6)approx0,00017,
e |x6-x5|approx2,75times10^-4<10^-3. Na próxima iteração atinge-se |x7-x6|<10^-4.

Resposta

A raiz positiva, até a quarta casa decimal, é aproximadamente
0,6119

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