Analise se os sistemas abaixo possuem solução pelo método de Gauss Seidel. Caso não tenha, quais as modificações que podem ser feitas? Resolva o sistema com 3 iterações.

Passo 1

O enunciado pede para aplicar o método de Gauss–Seidel ao sistema
x1+2x2-x3=3, 3x1+2x2=2, x1+x3=1,
verificar se ele converge, e, em caso negativo, indicar modificações para que converge. Em seguida realizar 3 iterações.

Passo 2

Verificação de convergência pelo critério das dominâncias e de Sassenfeld:
1. Matriz dos coeficientes
A= 1 & 2 & -1 3 & 2 & 0 1 & 0 & 1
2. Não há dominância diagonal estrita em cada linha, pois
|a11|=1<|2|+|-1|=3,|a22|=2<|3|+0=3,|a33|=1<|1|+0=1;(=!1)
3. Critério de Sassenfeld: definimos
beta1=|a12|+|a13||a11|=2+11=3>1,
logo o método não tem garantia de convergência no sistema dado.

Passo 3

Podemos trocar as duas primeiras equações para obter dominância mais favorável. O sistema permutado fica
3x1+2x2=2, x1+2x2-x3=3, x1+x3=1
A nova matriz
A'= 3&2&0 1&2&-1 1&0&1
satisfaz Sassenfeld com
beta1'=2+03=tfrac23, beta2'=1cdotbeta1'+12=tfrac23+12=tfrac56, beta3'=1cdotbeta1'+01=tfrac23,
todas menores que 1. Assim o método converge para esse sistema reordenado.

Passo 4

Iterações de Gauss–Seidel (chuveirinho, iniciando em (0,0,0)):
Isolando em ordem 1to 2to 3:
x1=2-2x23, x2=3 - x1 + x32, x3=1 - x1
k =1:
x1^(1)=2-2cdot03=tfrac23, x2^(1)=3-tfrac23+02=tfrac76, x3^(1)=1-tfrac23=tfrac13
k =2:
x1^(2)=2-2cdot763=2-733=-tfrac19, x2^(2)=3-(-tfrac19)+tfrac132=3+tfrac19+tfrac132=tfrac3118, x3^(2)=1-(-tfrac19)=tfrac109
k =3:
x1^(3)=2-2cdot31183=-tfrac1327, x2^(3)=3-(-tfrac1327)+tfrac1092=tfrac6227, x3^(3)=1-(-tfrac1327)=tfrac4027

Resposta

Após 3 iterações, o vetor aproximado é
l(x1,x2,x3r)approxl(-tfrac1327,,tfrac6227,,tfrac4027r)

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