Seja o sistema c3 x1+x2=2 2 x1+5 x2=-3. Resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss e pelo Gauss-Seidel com duas iterações e x^0=[0,0]. Compare os resultados e faça considerações.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o sistema
3x1 + x2 = 2, 2x1 + 5x2 = -3
por dois métodos: eliminação de Gauss (solução exata) e Gauss–Seidel (duas iterações, começando em x^(0)=[0,0]^T). O conteúdo necessário é:
– Para eliminação de Gauss, saber montar a matriz aumentada e eliminar incógnitas por combinação linear.
– Para Gauss–Seidel, escrever as fórmulas iterativas de x1 e x2 e aplicar sucessivamente.

Passo 2

Aplicando eliminação de Gauss:
Começamos com a matriz aumentada
Eliminamos na segunda equação: multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda,
Substituindo em

Passo 3

No método de Gauss–Seidel escrevemos as fórmulas isolando cada variável:
x1^(k+1) = 2 - x2^(k)3, x2^(k+1) = -3 - 2,x1^(k+1)5
Com x^(0) = (0,0):
– Iteração 1:
x1^(1) = 2 - 03 = 23, x2^(1) = -3 - 2cdot235 = -3 - 435 = -1315
– Iteração 2:
x1^(2) = 2 - l(-1315r)3 = 3015 + 13153 = 4345 approx 0,9556,
x2^(2) = -3 - 2cdot43455 = -3 - 86455 = -221225 approx -0,9822

Passo 4

Comparando os resultados:
– Solução exata (eliminação de Gauss): l(x1,x2r)=(1,,-1).
– Aproximação após duas iterações de Gauss–Seidel:
l(x1^(2),x2^(2)r)approx(0,9556,,-0,9822).
O erro já é pequeno em apenas duas iterações, pois a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante ( 3>1,;5>2), condição que garante convergência rápida do método iterativo.

Resposta

Solução exata pelo método de eliminação de Gauss:
(x1,x2)=(1,,-1)
Duas iterações de Gauss–Seidel (início em x^(0)=[0,0]):
(x1^(2),x2^(2))approx(0,9556,,-0,9822)
O método iterativo já atinge boa aproximação devido à diagonal dominante da matriz.

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