Seja o sistema . Resolva o sistema pelo método de Eliminação de Gauss e pelo Gauss-Seidel com duas iterações e x^0=[0,0]. Compare os resultados e faça considerações.
Passo 1
O enunciado pede para resolver o sistema
3x1 + x2 = 2, 2x1 + 5x2 = -3
por dois métodos: eliminação de Gauss (solução exata) e Gauss–Seidel (duas iterações, começando em x^(0)=[0,0]^T). O conteúdo necessário é:
– Para eliminação de Gauss, saber montar a matriz aumentada e eliminar incógnitas por combinação linear.
– Para Gauss–Seidel, escrever as fórmulas iterativas de x1 e x2 e aplicar sucessivamente.
Passo 2
Aplicando eliminação de Gauss:
Começamos com a matriz aumentada
Eliminamos na segunda equação: multiplicamos a primeira linha por e subtraímos da segunda,
Substituindo em dá
Passo 3
No método de Gauss–Seidel escrevemos as fórmulas isolando cada variável:
Comparando os resultados:
– Solução exata (eliminação de Gauss): l(x1,x2r)=(1,,-1).
– Aproximação após duas iterações de Gauss–Seidel: l(x1^(2),x2^(2)r)approx(0,9556,,-0,9822).
O erro já é pequeno em apenas duas iterações, pois a matriz do sistema é estritamente diagonalmente dominante (3>1,;5>2), condição que garante convergência rápida do método iterativo.
Resposta
Solução exata pelo método de eliminação de Gauss:
(x1,x2)=(1,,-1)
Duas iterações de Gauss–Seidel (início em x^(0)=[0,0]):
(x1^(2),x2^(2))approx(0,9556,,-0,9822)
O método iterativo já atinge boa aproximação devido à diagonal dominante da matriz.