Aplicando a lei da voltagem de Kirchhoff em um circuito RLC, obtém-se a equação diferencial
onde
é a carga elétrica (desconhecida) armazenada no capacitor em um instante
,
é a indutância,
é a resistência,
a capacitância e
é a força eletromotriz. Admitindo que a indutância
henrys, a resistência
ohms, a capacitância de 0,6 farad, a força eletromotriz
volts, a carga elétrica
e
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um circuito RLC, que é um circuito com resistor ®, indutor (L) e capacitor ©. A equação diferencial fornecida vem da Lei da Voltagem de Kirchhoff, que basicamente diz que a soma das quedas de tensão ao redor de um circuito fechado é igual à tensão fornecida pela fonte.
A equação que temos é:
Aqui, $ Q(t) $ é a carga elétrica no capacitor em função do tempo $ t $. As funções $ L(t) $, $ R(t) $, $ C $ e $ E(t) $ são dadas, e queremos encontrar $ Q(t) $ que satisfaça essa equação diferencial com as condições iniciais $ Q(0) = 1 $ e $ Q(\infty) = 0 $.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir as funções dadas na equação para simplificar. Temos:
- $ L(t) = 2 t^{2} $ henrys
- $ R(t) = 3 t $ ohms
- $ C = 0.6 $ farad
- $ E(t) = 6 e^{-2 t} + \frac{1}{t^{4}+1} $ volts
Substituindo esses valores na equação diferencial:
Simplificando $ \frac{1}{0.6} $:
Então, a equação fica:
Passo 3
Agora, vamos analisar a equação diferencial que temos. É uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes que variam com o tempo $ t $. Resolver esse tipo de equação pode ser bem complicado porque os coeficientes não são constantes.
A forma geral de uma equação diferencial linear de segunda ordem é:
No nosso caso:
- $ a(t) = 2 t^{2} $
- $ b(t) = 3 t $
- $ c(t) = \frac{5}{3} $
- $ d(t) = 6 e^{-2 t} + \frac{1}{t^{4}+1} $
Resolver essa equação requer métodos específicos, como o método de coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros, mas devido aos coeficientes variáveis, esses métodos não se aplicam diretamente de forma simples.
Passo 4
Dada a complexidade da equação, uma abordagem prática é usar métodos numéricos para aproximar a solução de $ Q(t) $. Métodos como o de Euler, Runge-Kutta ou outros métodos de integração numérica podem ser utilizados para resolver essa equação diferencial com as condições iniciais fornecidas.
Para isso, precisaríamos configurar a equação em um sistema de primeiras ordens e então aplicar o método numérico escolhido.
Vamos transformar a equação de segunda ordem em um sistema de primeira ordem. Vamos definir:
- $ Q_{1}(t) = Q(t) $
- $ Q_{2}(t) = Q’(t) $
Então, temos:
E a equação original pode ser rearranjada para resolver $ Q’’(t) $:
Dividindo ambos os lados por $ 2 t^{2} $:
Ou seja:
Passo 5
Com o sistema de equações de primeira ordem definido:
E as condições iniciais:
- $ Q_{1}(0) = Q(0) = 1 $
- Para encontrar $ Q_{2}(0) $, derivamos $ Q(t) $ na condição inicial, mas como não temos $ Q’(0) $ fornecido, precisaríamos de mais informações ou assumir que $ Q’(0) = 0 $ se não houver outra condição.
Agora, para resolver numericamente, escolheríamos um método como o Runge-Kutta de quarta ordem, que é bastante preciso para esse tipo de problema. Implementaríamos esse método em um software como MATLAB, Python (com bibliotecas como SciPy), ou até mesmo em uma planilha para calcular $ Q(t) $ em vários pontos de $ t $.
Passo 6
Resumindo, devido aos coeficientes variáveis na equação diferencial, a solução exata de $ Q(t) $ é bastante complexa e não pode ser expressa de forma simples. Portanto, a melhor abordagem é utilizar métodos numéricos para obter uma aproximação da solução que atenda às condições iniciais $ Q(0) = 1 $ e $ Q(\infty) = 0 $.
Resposta
Portanto, a carga elétrica $ Q(t) $ no capacitor pode ser aproximadamente determinada utilizando métodos numéricos, aplicando a transformação da equação diferencial original em um sistema de primeiras ordens e resolvendo com técnicas como o método de Runge-Kutta, respeitando as condições iniciais fornecidas.