Considere a definição dos seguintes operadores:
D u(x)=u^prime(x) ; De
além do operador identidade 1 u(x)=u(x)𝟙. Utilizando propriedades dos operadores e expansão formal em série de Taylor das funções envolvidas prove as seguintes relações:
De𝟙𝟙

Passo 1

Beleza, então o enunciado diz que temos vários operadores em cima de uma função D,u(x)=u'(x), De:
e a identidade 𝟙.
O que a gente quer provar, usando propriedades de operadores e expansão em série de Taylor, é:
  1. 𝟙𝟙
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar que deslocar a função por equivale a aplicar o operador (expansão em série de Taylor) e daí tirar a relação entre , , e .

Passo 2

Primeiro, mostraremos que
De
Usando definições diretas:
De.
Então
de
Isso dá
de
Mas note que
então
exatamente igual ao que achamos para .

Passo 3

A mesma conta vale trocando a ordem:
De,
pois é sempre a combinação .
Logo

Passo 4

Agora vamos enxergar u(x+h)=e^hD,u(x), u(x-h)=e^-hD,u(x) , De e nablah=u(x)-u(x-h)=(1-e^-hD),u(x), como funções do operador de.
Pela série de Taylor, deslocar de é
Então
𝟙
𝟙

Passo 5

Com isso, a gente chega a:
  1. ln(1+De𝟙𝟙.
    Logo -ln(1-nablah) =-lnl(e^-hDr) =h,D 𝟙
  2. sinh^-1!l(tfracde𝟙𝟙.
    Então 𝟙
  3. .
    Invertendo,

Resposta

Prontinho! Provamos que
De
e também que
h,D =ln(1+De𝟙𝟙

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