Considere a definição dos seguintes operadores:
além do operador identidade
. Utilizando propriedades dos operadores e expansão formal em série de Taylor das funções envolvidas prove as seguintes relações:
Passo 1
Beleza, então o enunciado diz que temos vários operadores em cima de uma função
:
e a identidade
.
O que a gente quer provar, usando propriedades de operadores e expansão em série de Taylor, é:
O que a gente quer provar, usando propriedades de operadores e expansão em série de Taylor, é:
Pra resolver isso, a gente vai precisar lembrar que deslocar a função
por
equivale a aplicar o operador
(expansão em série de Taylor) e daí tirar a relação entre
,
,
e
.
Passo 2
Primeiro, mostraremos que
Usando definições diretas:
.
Então
Então
Isso dá
Mas note que
então
exatamente igual ao que achamos para
.
Passo 3
A mesma conta vale trocando a ordem:
,
pois é sempre a combinação .
Logo
pois é sempre a combinação
Logo
Passo 4
Agora vamos enxergar
,
e
como funções do operador
.
Pela série de Taylor, deslocar de
é
Pela série de Taylor, deslocar
Então
Passo 5
Com isso, a gente chega a:
-
.
Logo -
.
Então -
.
Invertendo,
Resposta
Prontinho! Provamos que
e também que