Em problemas de engenharia, a determinação precisa das raizes
equaçōes não lineares é essencial para a modelagem e análise e sistemas físicos e matemáticos. 0 método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa eficiente para encontrar aproximaçōes sucessivas da raiz de uma função f(x). Esse método é definido pela equação:
x(n+1)=xn-f(xn) / f^prime(xn)
onde xn representa a aproximação atual da raiz e x(n+1) a próxima iteração.
Considere a função f(x)=x^2-3. Aplicando o método de NewtonRaphson com uma estimativa inicial x0=2, analise as seguintes afirmaçōes
I. A derivada da função dada é f(x)=2 x.
II. O cálculo da primeira iteração resulta em X1=1,75.
III. A segunda iteração fornece x2=1,7321, aproximadamente.
IV. O método de Newton-Raphson garante convergência para qualquer função contínua.
Com base nessa análise, assinale a alternativa correta:
Rascunho para cálculos:

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que fala sobre o método de Newton-Raphson, que é uma técnica usada para encontrar as raízes de funções não lineares. Aqui, a função que estamos analisando é $ f(x) = x^2 - 3 $ e a estimativa inicial que vamos usar é $ x_0 = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e aplicar as iterações do método de Newton-Raphson para encontrar aproximações da raiz.

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada é essencial no método de Newton-Raphson porque ela nos ajuda a determinar a inclinação da função naquele ponto, o que é usado para ajustar nossa estimativa da raiz.
A derivada de $ f(x) = x^2 - 3 $ é:
f(x)
Então, a afirmação I está correta.

Passo 3

Agora, vamos calcular a primeira iteração do método de Newton-Raphson usando a fórmula:
xn+1 = xn - f(xn)f'(xn)
Com $ x_0 = 2 $:
x0 = 2
f(2) = 2^2 - 3 = 4 - 3 = 1
Substituindo na fórmula:
f'(2) = 2 times 2 = 4
Então, a afirmação II também está correta.

Passo 4

Vamos para a segunda iteração usando $ x_1 = 1,75 $:
x1 = 1,75
f(1,75) = (1,75)^2 - 3 = 3,0625 - 3 = 0,0625
Aplicando na fórmula:
f'(1,75) = 2 times 1,75 = 3,5
Portanto, a afirmação III está correta também.

Passo 5

Por último, vamos analisar a afirmação IV, que diz que o método de Newton-Raphson garante convergência para qualquer função contínua. Isso não é verdade. O método de Newton-Raphson pode não convergir se a função não for bem comportada ou se a estimativa inicial não estiver próxima o suficiente da raiz. Existem casos onde o método pode divergir ou ficar preso em ciclos.

Resposta

As afirmações I, II e III estão corretas, enquanto a afirmação IV está incorreta.

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