Em problemas de engenharia, a determinação precisa das raizes
equaçōes não lineares é essencial para a modelagem e análise e sistemas físicos e matemáticos. 0 método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa eficiente para encontrar aproximaçōes sucessivas da raiz de uma função
. Esse método é definido pela equação:
onde
representa a aproximação atual da raiz e
a próxima iteração.
Considere a função
. Aplicando o método de NewtonRaphson com uma estimativa inicial
, analise as seguintes afirmaçōes
I. A derivada da função dada é
.
II. O cálculo da primeira iteração resulta em
.
III. A segunda iteração fornece
, aproximadamente.
IV. O método de Newton-Raphson garante convergência para qualquer função contínua.
Com base nessa análise, assinale a alternativa correta:
Rascunho para cálculos:
equaçōes não lineares é essencial para a modelagem e análise e sistemas físicos e matemáticos. 0 método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa eficiente para encontrar aproximaçōes sucessivas da raiz de uma função
Considere a função
I. A derivada da função dada é
II. O cálculo da primeira iteração resulta em
III. A segunda iteração fornece
IV. O método de Newton-Raphson garante convergência para qualquer função contínua.
Com base nessa análise, assinale a alternativa correta:
Rascunho para cálculos:
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão que fala sobre o método de Newton-Raphson, que é uma técnica usada para encontrar as raízes de funções não lineares. Aqui, a função que estamos analisando é $ f(x) = x^2 - 3 $ e a estimativa inicial que vamos usar é $ x_0 = 2 $. Para resolver isso, vamos precisar calcular a derivada da função e aplicar as iterações do método de Newton-Raphson para encontrar aproximações da raiz.
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar a derivada da função $ f(x) $. A derivada é essencial no método de Newton-Raphson porque ela nos ajuda a determinar a inclinação da função naquele ponto, o que é usado para ajustar nossa estimativa da raiz.
A derivada de $ f(x) = x^2 - 3 $ é:
Então, a afirmação I está correta.
Passo 3
Agora, vamos calcular a primeira iteração do método de Newton-Raphson usando a fórmula:
Com $ x_0 = 2 $:
Substituindo na fórmula:
Então, a afirmação II também está correta.
Passo 4
Vamos para a segunda iteração usando $ x_1 = 1,75 $:
Aplicando na fórmula:
Portanto, a afirmação III está correta também.
Passo 5
Por último, vamos analisar a afirmação IV, que diz que o método de Newton-Raphson garante convergência para qualquer função contínua. Isso não é verdade. O método de Newton-Raphson pode não convergir se a função não for bem comportada ou se a estimativa inicial não estiver próxima o suficiente da raiz. Existem casos onde o método pode divergir ou ficar preso em ciclos.
Resposta
As afirmações I, II e III estão corretas, enquanto a afirmação IV está incorreta.