Exercício Computacional: Calcule aproximação para derivada segunda de u(x)=e^-x^2 em x=3 / 2 para h=0.1, h=0.01 e h=0.001.

Passo 1

Beleza, o exercício pede pra gente aproximar a segunda derivada de
u(x)=e^-x^2
no ponto u''(x)approxu(x+h)-2,u(x)+u(x-h)h^2, (ou seja ), usando três tamanhos de malha diferentes:
, e .
O conteúdo aqui é “Diferenças Finitas” – mais especificamente a fórmula de diferença central para a segunda derivada. Vamos precisar só de cálculo de exponenciais e de aplicar a fórmula

Passo 2

Antes de sair calculando, vale entender a teoria:
  • A gente quer u''(x)approxu(x+h)-2,u(x)+u(x-h)h^2,, .
  • A diferença central de segunda ordem diz que e o erro dessa aproximação é da ordem de .
  • Aqui , então pra cada vamos precisar de
    , e .

Passo 3

Cálculo para u''(1.5)approx0.077304 - 2cdot0.105399 + 0.140858(0.1)^2 =0.0073630.01approx0.7363, :
  1. .
  2. .
  3. .
  4. Aplico a fórmula:

Passo 4

Cálculo para u''(1.5)approx0.1023 - 2cdot0.105399 + 0.1087(0.01)^2 =0.0000010.0001approx0.7378, :
  1. .
  2. .
  3. Mantém .

Passo 5

Cálculo para u''(1.5)approx0.10509 -2cdot0.105399 +0.10571(0.001)^2 =0.0000000110^-6approx0.73779, :
  1. .
  2. .
  3. .

Resposta

As aproximações da segunda derivada são:

Exercícios relacionados