Aplicando o método gráfico, estime um intervalo para as raízes das equações:
Passo 1
O enunciado pede que eu estime, aplicando o método gráfico, um intervalo para as raízes da equação
Informações dadas:
- A função é
. - A tarefa: encontrar intervalos em
que contenham todas as raízes de .
Não há figuras adicionais; vou usar avaliações da função e o princípio de que, seé contínua e troca de sinal entre dois pontos, então existe uma raiz entre esses pontos.
Passo 2
Por que posso usar troca de sinal (método gráfico) para localizar raízes?
- Primeiro, vou justificar que
é contínua: as funções e são contínuas em todo ; soma e subtração preservam continuidade. Logo é contínua em todo . - Teorema útil (Teorema do Valor Intermediário): se uma função contínua
satisfaz , então existe pelo menos um tal que . Esse é o fundamento do “método gráfico” por procura de trocas de sinal.
Portanto, vou avaliarem pontos estratégicos e procurar intervalos onde muda de sinal; cada troca de sinal garante uma raiz naquele intervalo.
Passo 3
Avaliações em pontos inteiros para localizar trocas de sinal (contas explícitas):
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
.
Agora do lado negativo:
Como
e
, há pelo menos uma raiz em
.
Conclusão parcial: a função tem (pelo menos) duas raízes reais, uma em
e outra em
.
Passo 4
Refinando o intervalo para a raiz negativa (bissecção em pontos úteis):
Avalio em
:
Avalio
Como
, tem-se
Logo a troca de sinal está entre
e
(pois
e
). Agora avalio em
:
Com
,
Como
e
, a raiz está em
. Vou refinar mais entre
e
:
Portanto há troca de sinal entre
e
, então a raiz negativa está em
.
Passo 5
Refinando o intervalo para a raiz positiva (bissecção entre
e
):
Já vimos e
. Avalio pontos intermediários:
Já vimos
Com
,
Logo a raiz está em
. Refinando mais:
Portanto há troca de sinal entre
e
. Refinando mais rapidamente:
Logo a raiz positiva está em
.
Passo 6
Resumo do que fizemos (método gráfico via trocas de sinal e refinamento por bissecção):
- Usei continuidade de
e o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raízes quando há troca de sinal. - Busquei trocas de sinal em pontos inteiros para localizar raízes grossas e depois refinei avaliando pontos intermediários até obter intervalos pequenos que contêm cada raiz.