Aplicando o método gráfico, estime um intervalo para as raízes das equações:
f(x)=e^{x}+x^{2}-2

Passo 1

O enunciado pede que eu estime, aplicando o método gráfico, um intervalo para as raízes da equação
f(x)=e^{x}+x^{2}-2.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=e^{x}+x^{2}-2.
  • A tarefa: encontrar intervalos em \mathbb{R} que contenham todas as raízes de f.
    Não há figuras adicionais; vou usar avaliações da função e o princípio de que, se f é contínua e troca de sinal entre dois pontos, então existe uma raiz entre esses pontos.

Passo 2

Por que posso usar troca de sinal (método gráfico) para localizar raízes?
  • Primeiro, vou justificar que f é contínua: as funções x\mapsto e^{x} e x\mapsto x^{2} são contínuas em todo \mathbb{R}; soma e subtração preservam continuidade. Logo f é contínua em todo \mathbb{R}.
  • Teorema útil (Teorema do Valor Intermediário): se uma função contínua f satisfaz f(a)\cdot f(b)<0, então existe pelo menos um c\in(a,b) tal que f\text{(c)}=0. Esse é o fundamento do “método gráfico” por procura de trocas de sinal.
    Portanto, vou avaliar f em pontos estratégicos e procurar intervalos onde f muda de sinal; cada troca de sinal garante uma raiz naquele intervalo.

Passo 3

Avaliações em pontos inteiros para localizar trocas de sinal (contas explícitas):
f(0)=e^{0}+0^{2}-2=1-2=-1.
f(1)=e^{1}+1^{2}-2=e-1\approx 2,71828-1=1,71828>0.
Como f(0)=-1<0 e f(1)>0, há pelo menos uma raiz em (0,1).
Agora do lado negativo:
f(-1)=e^{-1}+(-1)^{2}-2=e^{-1}+1-2=e^{-1}-1\approx 0,367879-1=-0,632121<0.
f(-2)=e^{-2}+(-2)^{2}-2=e^{-2}+4-2=e^{-2}+2\approx 0,135335+2=2,135335>0.
Como f(-2)>0 e f(-1)<0, há pelo menos uma raiz em (-2,-1).
Conclusão parcial: a função tem (pelo menos) duas raízes reais, uma em (-2,-1) e outra em (0,1).

Passo 4

Refinando o intervalo para a raiz negativa (bissecção em pontos úteis):
Avalio f em -1,5:
f(-1,5)=e^{-1,5}+(-1,5)^{2}-2=e^{-1,5}+2,25-2=e^{-1,5}+0,25.
Como e^{-1,5}\approx 0,223130, tem-se
f(-1,5)\approx 0,223130+0,25=0,473130>0.
Logo a troca de sinal está entre -1,5 e -1 (pois f(-1,5)>0 e f(-1)<0). Agora avalio em -1,3:
f(-1,3)=e^{-1,3}+(-1,3)^{2}-2=e^{-1,3}+1,69-2=e^{-1,3}-0,31.
Com e^{-1,3}\approx 0,272532,
f(-1,3)\approx 0,272532-0,31=-0,037468<0.
Como f(-1,5)>0 e f(-1,3)<0, a raiz está em (-1,5,-1,3). Vou refinar mais entre -1,32 e -1,31:
e^{-1,32}\approx 0,267080,\quad (-1,32)^{2}=1,7424,
f(-1,32)=0,267080+1,7424-2\approx 0,00948>0.
e^{-1,31}\approx 0,269806,\quad (-1,31)^{2}=1,7161,
f(-1,31)=0,269806+1,7161-2\approx -0,014094<0.
Portanto há troca de sinal entre -1,32 e -1,31, então a raiz negativa está em (-1,32,-1,31).

Passo 5

Refinando o intervalo para a raiz positiva (bissecção entre 0 e 1):
Já vimos f(0)=-1 e f(1)>0. Avalio pontos intermediários:
f(0,5)=e^{0,5}+0,5^{2}-2=e^{0,5}+0,25-2.
Com e^{0,5}\approx 1,648721,
f(0,5)\approx 1,648721+0,25-2=-0,101279<0.
f(0,6)=e^{0,6}+0,6^{2}-2,\quad e^{0,6}\approx 1,822119,\;0,6^{2}=0,36,
f(0,6)\approx 1,822119+0,36-2=0,182119>0.
Logo a raiz está em (0,5,0,6). Refinando mais:
f(0,53)=e^{0,53}+0,53^{2}-2,\quad e^{0,53}\approx 1,698, \;0,53^{2}=0,2809,
f(0,53)\approx 1,698+0,2809-2\approx -0,0211<0.
f(0,54)=e^{0,54}+0,54^{2}-2,\quad e^{0,54}\approx 1,715538,\;0,54^{2}=0,2916,
f(0,54)\approx 1,715538+0,2916-2=0,007138>0.
Portanto há troca de sinal entre 0,53 e 0,54. Refinando mais rapidamente:
f(0,535)\approx e^{0,535}+0,535^{2}-2\approx 1,7078+0,286225-2\approx -0,005975<0.
f(0,54)>0 \text{ (verificado acima)}.
Logo a raiz positiva está em (0,535,0,54).

Passo 6

Resumo do que fizemos (método gráfico via trocas de sinal e refinamento por bissecção):
  • Usei continuidade de f e o Teorema do Valor Intermediário para garantir existência de raízes quando há troca de sinal.
  • Busquei trocas de sinal em pontos inteiros para localizar raízes grossas e depois refinei avaliando pontos intermediários até obter intervalos pequenos que contêm cada raiz.

Resposta

(-1,32,-1,31)
(0,535,0,54)

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