Considere a função
.
a) Encontre uma aproximação para a raiz pelo método gráfico.
b) Refine a solução pelo método da Bisseção com erro 0,01 .
c) Calcule o número mínimo de iterações necessárias.
a) Encontre uma aproximação para a raiz pelo método gráfico.
b) Refine a solução pelo método da Bisseção com erro 0,01 .
c) Calcule o número mínimo de iterações necessárias.
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede três coisas:
- (a) obter uma aproximação para a raiz pelo método gráfico;
- (b) refinar a solução usando o método da Bisseção até erro
; - (c) calcular o número mínimo de iterações necessárias para atingir esse erro.
Informações relevantes dadas:
- A função é
. - Procuramos raízes reais; note que
exige . - O erro desejado para a bisseção é
.
Passo 2
Entendendo a função para poder “desenhar” seu gráfico mentalmente (o que ajuda no método gráfico).
- Derivada:
. - Para
temos e , logo . Portanto é estritamente crescente em . - Limites:
porque ; e .
Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva e a função sobe monotonicamente depara , então basta encontrar um intervalo com e .
Passo 3
Achar um intervalo com mudança de sinal (bracketing), isto é o primeiro passo do “método gráfico” prático.
- Calculo
:
Logo
.
- Calculo
:
Logo
.
Portanto a raiz está em .
Portanto a raiz está em
Passo 4
Aproximação pelo “método gráfico” (que aqui faremos avaliando pontos e localizando onde o gráfico cruza o eixo
).
- Avaliando alguns pontos médios:
Como
e
, a raiz está entre
e
. Isso já é uma boa aproximação gráfica: a raiz é aproximadamente
. (Se quiser mais precisão visual, pode dizer
a partir de avaliações adicionais.)
Passo 5
Explicando o método da Bisseção (didático):
- Partimos de um intervalo
tal que . A cada iteração calculamos o ponto médio . - Se
paramos; se tem mesmo sinal que substituímos , senão substituímos . Assim garantimos que a raiz fica sempre em e o comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração. - Cota de erro: após
iterações o comprimento do intervalo é . Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo após iterações, o erro máximo absoluto é no máximo metade desse comprimento, mas é comum usar a condição
ou equivalentemente
Passo 6
Aplicando a Bisseção ao nosso caso; inicialmente
(comprimento
).
Vamos executar iterações até garantir erro . Vou listar cada iteração com o ponto médio e o sinal de
.
Vamos executar iterações até garantir erro
- Iteração 1:
Sinal positivo → novo intervalo
.
- Iteração 2:
Sinal negativo → novo intervalo
.
- Iteração 3:
Sinal positivo → novo intervalo
.
- Iteração 4:
Sinal positivo → novo intervalo
.
- Iteração 5:
Sinal negativo → novo intervalo
.
- Iteração 6:
Sinal negativo → novo intervalo final após 6 iterações
.
Passo 7
Determinar a aproximação final e verificar a cota de erro.
- Comprimento do intervalo inicial
. - Após
iterações o comprimento do intervalo é
Esse comprimento é menor que
, portanto qualquer ponto do intervalo final tem erro absoluto
. Uma boa aproximação é o ponto médio do intervalo final:
Arredondando razoavelmente,
. Isso atende a tolerância solicitada.
Passo 8
Calcular o número mínimo de iterações necessárias (parte c) usando a fórmula teórica.
- Queremos
tal que
Substituindo
:
Tomando log base
:
Logo o menor
inteiro que satisfaz é
Portanto são necessárias pelo menos
iterações da bisseção.
Resposta
(a)
(b) (após 6 iterações, erro
)
(c)
(b)
(c)