Considere a função f(x)=x^{2}+\ln (x).
a) Encontre uma aproximação para a raiz pelo método gráfico.
b) Refine a solução pelo método da Bisseção com erro 0,01 .
c) Calcule o número mínimo de iterações necessárias.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{2}+\ln(x) e pede três coisas:
  • (a) obter uma aproximação para a raiz pelo método gráfico;
  • (b) refinar a solução usando o método da Bisseção até erro 0,01;
  • (c) calcular o número mínimo de iterações necessárias para atingir esse erro.
Informações relevantes dadas:
  • A função é f(x)=x^{2}+\ln(x).
  • Procuramos raízes reais; note que \ln(x) exige x>0.
  • O erro desejado para a bisseção é 0,01.

Passo 2

Entendendo a função para poder “desenhar” seu gráfico mentalmente (o que ajuda no método gráfico).
  • Derivada: f'(x)=2x+\dfrac{1}{x}.
  • Para x>0 temos 2x>0 e \dfrac{1}{x}>0, logo f'(x)>0. Portanto f é estritamente crescente em (0,\infty).
  • Limites: \displaystyle\lim_{x\to0^{+}}f(x)=-\infty porque \ln(x)\to-\infty; e \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty.
    Conclusão: existe exatamente uma raiz positiva e a função sobe monotonicamente de -\infty para +\infty, então basta encontrar um intervalo [a,b] com f(a)<0 e f(b)>0.

Passo 3

Achar um intervalo com mudança de sinal (bracketing), isto é o primeiro passo do “método gráfico” prático.
  • Calculo f(0,5):
f(0,5)=(0,5)^{2}+\ln(0,5)=0,25+\ln(0,5)\approx0,25-0,693147\approx-0,443147.
Logo f(0,5)<0.
  • Calculo f(1):
f(1)=1^{2}+\ln(1)=1+0=1>0.
Logo f(1)>0.
Portanto a raiz está em [0,5,\,1].

Passo 4

Aproximação pelo “método gráfico” (que aqui faremos avaliando pontos e localizando onde o gráfico cruza o eixo x).
  • Avaliando alguns pontos médios:
f(0,7)=0,7^{2}+\ln(0,7)=0,49+\ln(0,7)\approx0,49-0,356675\approx0,133325>0.
f(0,65)=0,65^{2}+\ln(0,65)=0,4225+\ln(0,65)\approx0,4225-0,430783\approx-0,008283<0.
Como f(0,65)<0 e f(0,7)>0, a raiz está entre 0,65 e 0,7. Isso já é uma boa aproximação gráfica: a raiz é aproximadamente 0,65. (Se quiser mais precisão visual, pode dizer x\approx0,652 a partir de avaliações adicionais.)

Passo 5

Explicando o método da Bisseção (didático):
  • Partimos de um intervalo [a_{0},b_{0}] tal que f(a_{0})\cdot f(b_{0})<0. A cada iteração calculamos o ponto médio c=(a+b)/2.
  • Se f\text{(c)}=0 paramos; se f\text{(c)} tem mesmo sinal que f(a) substituímos a\leftarrow c, senão substituímos b\leftarrow c. Assim garantimos que a raiz fica sempre em [a,b] e o comprimento do intervalo é reduzido pela metade a cada iteração.
  • Cota de erro: após n iterações o comprimento do intervalo é \dfrac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}. Tomando como aproximação o ponto médio do intervalo após n iterações, o erro máximo absoluto é no máximo metade desse comprimento, mas é comum usar a condição
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}\le\text{tolerância},â
ou equivalentemente
n\ge\log_{2}\!\left(\frac{b_{0}-a_{0}}{\text{tolerância}}\right).â

Passo 6

Aplicando a Bisseção ao nosso caso; inicialmente [a_{0},b_{0}]=[0,5,\,1] (comprimento 0,5).
Vamos executar iterações até garantir erro \le0,01. Vou listar cada iteração com o ponto médio e o sinal de f.
  1. Iteração 1:
c_{1}=\frac{0,5+1}{2}=0,75.
f(0,75)=0,75^{2}+\ln(0,75)=0,5625+\ln(0,75)\approx0,5625-0,287682\approx0,274818>0.
Sinal positivo → novo intervalo [0,5,\,0,75].
  1. Iteração 2:
c_{2}=\frac{0,5+0,75}{2}=0,625.
f(0,625)=0,625^{2}+\ln(0,625)=0,390625+\ln(0,625)\approx0,390625-0,470004\approx-0,079379<0.
Sinal negativo → novo intervalo [0,625,\,0,75].
  1. Iteração 3:
c_{3}=\frac{0,625+0,75}{2}=0,6875.
f(0,6875)=0,6875^{2}+\ln(0,6875)\approx0,47265625+\ln(0,6875)\approx0,47265625-0,374693\approx0,097963>0.
Sinal positivo → novo intervalo [0,625,\,0,6875].
  1. Iteração 4:
c_{4}=\frac{0,625+0,6875}{2}=0,65625.
f(0,65625)=0,65625^{2}+\ln(0,65625)\approx0,4306640625+\ln(0,65625)\approx0,4306641-0,420216\approx0,010448>0.
Sinal positivo → novo intervalo [0,625,\,0,65625].
  1. Iteração 5:
c_{5}=\frac{0,625+0,65625}{2}=0,640625.
f(0,640625)=0,640625^{2}+\ln(0,640625)\approx0,4104003906+\ln(0,640625)\approx0,4104004-0,445311\approx-0,034911<0.
Sinal negativo → novo intervalo [0,640625,\,0,65625].
  1. Iteração 6:
c_{6}=\frac{0,640625+0,65625}{2}=0,6484375.
f(0,6484375)=0,6484375^{2}+\ln(0,6484375)\approx0,4202957+\ln(0,6484375)\approx0,4202957-0,433218\approx-0,012922<0.
Sinal negativo → novo intervalo final após 6 iterações [0,6484375,\,0,65625].

Passo 7

Determinar a aproximação final e verificar a cota de erro.
  • Comprimento do intervalo inicial b_{0}-a_{0}=0,5.
  • Após 6 iterações o comprimento do intervalo é
\frac{0,5}{2^{6}}=\frac{0,5}{64}=0,0078125.
Esse comprimento é menor que 0,01, portanto qualquer ponto do intervalo final tem erro absoluto \le0,0078125<0,01. Uma boa aproximação é o ponto médio do intervalo final:
x_{\text{aprx}}=\frac{0,6484375+0,65625}{2}=0,65234375.
Arredondando razoavelmente, x\approx0,65234. Isso atende a tolerância solicitada.

Passo 8

Calcular o número mínimo de iterações necessárias (parte c) usando a fórmula teórica.
  • Queremos n tal que
\frac{b_{0}-a_{0}}{2^{n}}\le0,01.
Substituindo b_{0}-a_{0}=0,5:
\frac{0,5}{2^{n}}\le0,01\quad\Rightarrow\quad 2^{n}\ge\frac{0,5}{0,01}=50.
Tomando log base 2:
n\ge\log_{2}(50)=\frac{\ln(50)}{\ln(2)}\approx\frac{3,912023}{0,693147}\approx5,643856\ldots
Logo o menor n inteiro que satisfaz é
n=\lceil5,643856\ldots\rceil=6.
Portanto são necessárias pelo menos 6 iterações da bisseção.

Resposta

(a) x\approx0,65
(b) x\approx0,65234 (após 6 iterações, erro <0,01)
(c) 6

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