Considere a função
. Encontre uma aproximação para raiz, utilizando Newton-Raphson com
e com erro 0,0001 .
Passo 1
O enunciado pede: aproximar uma raiz da função
usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial
e erro tolerado
.
Informações dadas:
- A função é
. - Chute inicial:
. - Tolerância (erro):
. Vou interpretar isso como critério de parada para a diferença entre iterações, isto é, parar quando .
Nada mais é pedido além da aproximação da raiz com esse erro.
Passo 2
Apresentação do método (explicação didática):
- A ideia do método de Newton–Raphson: a cada iteração usa-se a reta tangente à curva
em para obter uma melhor aproximação da raiz. A fórmula iterativa é
Aqui:
-
é a aproximação atual; -
é o valor da função no ponto ; -
é a derivada da função no ponto ; -
a fração
é o deslocamento sugerido pela reta tangente. -
Primeiro preciso da derivada de
. Calculo:
derivando:
Expliquei passo a passo: derivada de
é
, aqui
e
; derivada de
é
.
- Critério de parada: vou usar
. Em cada iteração calculo , , a razão e , e avalio a diferença entre e .
Agora aplico as iterações começando em
. Em cada passo mostro os cálculos numéricos usados (valores de
e
são avaliados numericamente; em prova normalmente usa-se calculadora para trigonometria).
Passo 3
Iteração
(a partir de
):
- Calcular
. - Calcular
. Numericamente:
(reduzindo módulo ou usando calculadora),
.
Logo - Calcular
.
Temos. Assim - Aplicando Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 4
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
, e - Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 5
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
. Então - Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 6
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
. Assim - Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 7
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
. Então - Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 8
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
. Assim - Newton:
- Diferença:
. Continuar.
Passo 9
Iteração
(a partir de
):
-
. -
, . -
. Então - Newton:
- Diferença:
. Critério de parada satisfeito.
Portanto a iteração foi interrompida em
(calculando
), pois a diferença entre iterados ficou abaixo da tolerância pedida.