Considere a função f(x)=\cos \left(x^{3}\right)-\ln x. Encontre uma aproximação para raiz, utilizando Newton-Raphson com x_{0}=1,5 e com erro 0,0001 .

Passo 1

O enunciado pede: aproximar uma raiz da função f usando o método de Newton–Raphson, com chute inicial x_{0}=1,5 e erro tolerado 0,0001.
Informações dadas:
  • A função é f(x)=\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)-\ln x.
  • Chute inicial: x_{0}=1,5.
  • Tolerância (erro): 0,0001. Vou interpretar isso como critério de parada para a diferença entre iterações, isto é, parar quando \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0,0001.
Nada mais é pedido além da aproximação da raiz com esse erro.

Passo 2

Apresentação do método (explicação didática):
  • A ideia do método de Newton–Raphson: a cada iteração usa-se a reta tangente à curva y=f(x) em x_{n} para obter uma melhor aproximação x_{n+1} da raiz. A fórmula iterativa é
x_{n+1}=x_{n}-\frac{f(x_{n})}{f'(x_{n})}.
Aqui:
  • x_{n} é a aproximação atual;
  • f(x_{n}) é o valor da função no ponto x_{n};
  • f'(x_{n}) é a derivada da função no ponto x_{n};
  • a fração \dfrac{f(x_{n})}{f'(x_{n})} é o deslocamento sugerido pela reta tangente.
  • Primeiro preciso da derivada de f. Calculo:
f(x)=\cos\!\bigl(x^{3}\bigr)-\ln x,
derivando:
f'(x)=-\sin\!\bigl(x^{3}\bigr)\cdot 3x^{2}-\frac{1}{x}=-3x^{2}\sin\!\bigl(x^{3}\bigr)-\frac{1}{x}.
Expliquei passo a passo: derivada de \cos(u) é -\sin(u)\cdot u', aqui u=x^{3} e u'=3x^{2}; derivada de -\ln x é -1/x.
  • Critério de parada: vou usar \lvert x_{n+1}-x_{n}\rvert<0,0001. Em cada iteração calculo f(x_{n}), f'(x_{n}), a razão e x_{n+1}, e avalio a diferença entre x_{n+1} e x_{n}.
Agora aplico as iterações começando em x_{0}=1,5. Em cada passo mostro os cálculos numéricos usados (valores de \cos e \sin são avaliados numericamente; em prova normalmente usa-se calculadora para trigonometria).

Passo 3

Iteração n=0 (a partir de x_{0}=1,5):
  • Calcular x_{0}^{3}=1,5^{3}=3,375.
  • Calcular f(x_{0})=\cos(3,375)-\ln(1,5). Numericamente:
    \cos(3,375)\approx -0,972889 (reduzindo módulo 2\pi ou usando calculadora),
    \ln(1,5)\approx 0,405465.
    Logo f(x_{0})\approx -0,972889-0,405465=-1,378354.
  • Calcular f'(x_{0})=-3(1,5)^{2}\sin(3,375)-1/1,5.
    Temos \sin(3,375)\approx -0,231293. Assim f'(x_{0})\approx -3\cdot 2,25\cdot(-0,231293)-0,666667 \approx 0,894566.
  • Aplicando Newton: x_{1}=1,5-\frac{-1,378354}{0,894566}\approx 1,5+1,540919\approx 3,040919.
  • Diferença: \lvert x_{1}-x_{0}\rvert\approx 1,540919>0,0001. Continuar.

Passo 4

Iteração n=1 (a partir de x_{1}\approx 3,040919):
  • x_{1}^{3}\approx 28,11995.
  • \cos(28,11995)\approx -0,988109, \ln(3,040919)\approx 1,112160. f(x_{1})\approx -0,988109-1,112160=-2,100269.
  • \sin(28,11995)\approx 0,153771, e f'(x_{1})\approx -3\cdot(3,040919)^{2}\cdot 0,153771-\frac{1}{3,040919}\approx -4,594507.
  • Newton: x_{2}=3,040919-\frac{-2,100269}{-4,594507}\approx 3,040919-0,457263\approx 2,583656.
  • Diferença: \lvert x_{2}-x_{1}\rvert\approx 0,457263>0,0001. Continuar.

Passo 5

Iteração n=2 (a partir de x_{2}\approx 2,583656):
  • x_{2}^{3}\approx 17,24660.
  • \cos(17,24660)\approx -0,032154, \ln(2,583656)\approx 0,949202. f(x_{2})\approx -0,032154-0,949202=-0,981356.
  • \sin(17,24660)\approx -0,999484. Então f'(x_{2})\approx -3\cdot 6,675276\cdot(-0,999484)-\frac{1}{2,583656}\approx 19,6287.
  • Newton: x_{3}=2,583656-\frac{-0,981356}{19,6287}\approx 2,583656+0,050001\approx 2,633657.
  • Diferença: \lvert x_{3}-x_{2}\rvert\approx 0,050001>0,0001. Continuar.

Passo 6

Iteração n=3 (a partir de x_{3}\approx 2,633657):
  • x_{3}^{3}\approx 18,26842.
  • \cos(18,26842)\approx 0,83589, \ln(2,633657)\approx 0,967988. f(x_{3})\approx 0,83589-0,967988=-0,132098.
  • \sin(18,26842)\approx -0,55080. Assim f'(x_{3})\approx -3\cdot 6,936146\cdot(-0,55080)-\frac{1}{2,633657}\approx 11,0850.
  • Newton: x_{4}=2,633657-\frac{-0,132098}{11,0850}\approx 2,633657+0,011915\approx 2,645572.
  • Diferença: \lvert x_{4}-x_{3}\rvert\approx 0,011915>0,0001. Continuar.

Passo 7

Iteração n=4 (a partir de x_{4}\approx 2,645572):
  • x_{4}^{3}\approx 18,51649.
  • \cos(18,51649)\approx 0,94506, \ln(2,645572)\approx 0,972888. f(x_{4})\approx 0,94506-0,972888=-0,027826.
  • \sin(18,51649)\approx -0,327537. Então f'(x_{4})\approx -3\cdot 6,999052\cdot(-0,327537)-\frac{1}{2,645572}\approx 6,5010.
  • Newton: x_{5}=2,645572-\frac{-0,027826}{6,5010}\approx 2,645572+0,004281\approx 2,649853.
  • Diferença: \lvert x_{5}-x_{4}\rvert\approx 0,004281>0,0001. Continuar.

Passo 8

Iteração n=5 (a partir de x_{5}\approx 2,649853):
  • x_{5}^{3}\approx 18,60653.
  • \cos(18,60653)\approx 0,97049, \ln(2,649853)\approx 0,974504. f(x_{5})\approx 0,97049-0,974504=-0,004014.
  • \sin(18,60653)\approx -0,24095. Assim f'(x_{5})\approx -3\cdot 7,02172\cdot(-0,24095)-\frac{1}{2,649853}\approx 4,6982.
  • Newton: x_{6}=2,649853-\frac{-0,004014}{4,6982}\approx 2,649853+0,000855\approx 2,650708.
  • Diferença: \lvert x_{6}-x_{5}\rvert\approx 0,000855>0,0001. Continuar.

Passo 9

Iteração n=6 (a partir de x_{6}\approx 2,650708):
  • x_{6}^{3}\approx 18,623526.
  • \cos(18,623526)\approx 0,97450, \ln(2,650708)\approx 0,974826. f(x_{6})\approx 0,97450-0,974826=-0,000326.
  • \sin(18,623526)\approx -0,22420. Então f'(x_{6})\approx -3\cdot 7,026248\cdot(-0,22420)-\frac{1}{2,650708}\approx 4,3487.
  • Newton: x_{7}=2,650708-\frac{-0,000326}{4,3487}\approx 2,650708+0,000075\approx 2,650783.
  • Diferença: \lvert x_{7}-x_{6}\rvert\approx 0,000075<0,0001. Critério de parada satisfeito.
Portanto a iteração foi interrompida em n=6 (calculando x_{7}), pois a diferença entre iterados ficou abaixo da tolerância pedida.

Resposta

x \approx 2,650783

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