(0.2) Apresente a raiz estimada pelo método da Posição Falsa para a função
no intervalo
, após três iterações (ou seja, após ter feito o cálculo da estimativa da raiz
três vezes). Para cada iteração, apresente os valores de
e
, respectivamente, os extremos inicial e final do intervalo e o valor estimado para a raiz. Apresente o resultado com até 5 casas decimais.
Passo 1
O enunciado dá a função
e o intervalo inicial
. Pede-se a estimativa da raiz pelo método da Posição Falsa (Regula Falsi) depois de três iterações — isto é, calcular três vezes
sucessivas e mostrar, em cada iteração, os valores de
,
e
. Os valores finais devem ser apresentados com até 5 casas decimais.
Informações relevantes fornecidas:
- Função:
. - Intervalo inicial:
, . - Requisito: executar exatamente 3 iterações do método da Posição Falsa e informar, para cada iteração, os valores de
, e (com até 5 casas decimais).
Passo 2
Explicação do método (aula rápida, sem pular etapas).
A Posição Falsa (Regula Falsi) é um método de busca de raízes que mantém um intervalo
tal que
e
tenham sinais opostos (
). A cada iteração calcula-se uma aproximação
pela interseção da reta que passa pelos pontos
e
com o eixo
. A fórmula de
é
ou, equivalentemente,
Interpretação das variáveis nessa fórmula:
-
e são os extremos atuais do intervalo tal que . -
e são os valores da função nesses extremos. -
é a estimativa da raiz obtida pela interseção da linha secante com o eixo .
Após calcular
verifica-se o sinal de
:
- Se
, a nova dupla é . - Se
, a nova dupla é . - (Não ocorrerá aqui
exato.)
Agora aplicamos o procedimento passo a passo nas três iterações pedidas.
Passo 3
Iteração 1 — dados iniciais e cálculo de
.
Calcular
nos extremos iniciais:
Como
, o intervalo
contém uma raiz.
Aplicando a fórmula (uso a forma
):
Calcular
:
Como
e
são ambos negativos, a mudança de sinal está entre
e
. Logo o novo intervalo é
Passo 4
Iteração 2 — usar
,
e calcular
.
Valores já conhecidos:
Usando a forma
(porque às vezes facilita as contas):
Calculemos passo a passo (valores numéricos intermediários):
Portanto
Calcular
(aproximação):
Como
e
, a nova dupla que preserva mudança de sinal é
Passo 5
Iteração 3 — usar
,
e calcular
.
Para facilitar a conta uso a forma combinada (obtida a partir da fórmula):
Aqui
. Vamos calcular
com precisão suficiente e depois
.
Cálculo de
(usando
):
Logo
Agora o denominador e numerador usados na fórmula:
Calcule cada termo:
Portanto
Finalmente
Calcular
apenas para verificar sinal (não necessário para pedir as três iterações, mas instrutivo):
logo o novo intervalo após a terceira iteração seria
, mas a questão pediu somente as três estimativas e os
usados em cada iteração, que acabamos de calcular.
Resposta
Iteração 1:
,
,
Iteração 2: ,
,
Iteração 3: ,
,
Iteração 2:
Iteração 3: