(0.2) Apresente a raiz estimada pelo método da Posição Falsa para a função f(x)=x^{3}-10 no intervalo [0,4], após três iterações (ou seja, após ter feito o cálculo da estimativa da raiz (\bar{x}) três vezes). Para cada iteração, apresente os valores de a, b e \bar{x}, respectivamente, os extremos inicial e final do intervalo e o valor estimado para a raiz. Apresente o resultado com até 5 casas decimais.

Passo 1

O enunciado dá a função f(x)=x^{3}-10 e o intervalo inicial [0,4]. Pede-se a estimativa da raiz pelo método da Posição Falsa (Regula Falsi) depois de três iterações — isto é, calcular três vezes \bar{x} sucessivas e mostrar, em cada iteração, os valores de a, b e \bar{x}. Os valores finais devem ser apresentados com até 5 casas decimais.
Informações relevantes fornecidas:
  • Função: f(x)=x^{3}-10.
  • Intervalo inicial: a_{0}=0, b_{0}=4.
  • Requisito: executar exatamente 3 iterações do método da Posição Falsa e informar, para cada iteração, os valores de a, b e \bar{x} (com até 5 casas decimais).

Passo 2

Explicação do método (aula rápida, sem pular etapas).
A Posição Falsa (Regula Falsi) é um método de busca de raízes que mantém um intervalo [a,b] tal que f(a) e f(b) tenham sinais opostos ( f(a)\cdot f(b)<0). A cada iteração calcula-se uma aproximação \bar{x} pela interseção da reta que passa pelos pontos (a,f(a)) e (b,f(b)) com o eixo x. A fórmula de \bar{x} é
\bar{x} \;=\; b - f(b)\,\frac{b-a}{\,f(b)-f(a)\,}
ou, equivalentemente,
\bar{x} \;=\; \frac{a\,f(b) - b\,f(a)}{\,f(b)-f(a)\,}.
Interpretação das variáveis nessa fórmula:
  • a e b são os extremos atuais do intervalo tal que f(a)\cdot f(b)<0.
  • f(a) e f(b) são os valores da função nesses extremos.
  • \bar{x} é a estimativa da raiz obtida pela interseção da linha secante com o eixo x.
Após calcular \bar{x} verifica-se o sinal de f(\bar{x}):
  • Se f(a)\cdot f(\bar{x})<0, a nova dupla é (a,\bar{x}).
  • Se f(\bar{x})\cdot f(b)<0, a nova dupla é (\bar{x},b).
  • (Não ocorrerá aqui f(\bar{x})=0 exato.)
Agora aplicamos o procedimento passo a passo nas três iterações pedidas.

Passo 3

Iteração 1 — dados iniciais e cálculo de \bar{x}_{1}.
Calcular f nos extremos iniciais:
f(0)=0^{3}-10=-10, \qquad f(4)=4^{3}-10=64-10=54.
Como f(0)\cdot f(4)=-10\cdot54<0, o intervalo [0,4] contém uma raiz.
Aplicando a fórmula (uso a forma b - f(b)\,(b-a)/(f(b)-f(a))):
\bar{x}_{1} = 4 - 54\cdot\frac{4-0}{54-(-10)} = 4 - \frac{54\cdot4}{64} = 4 - \frac{216}{64} = 4 - 3,375 = 0,625.
Calcular f(\bar{x}_{1}):
f(0,625)=0,625^{3}-10=0,244140625-10=-9,755859375.
Como f(0) e f(0,625) são ambos negativos, a mudança de sinal está entre \bar{x}_{1} e b. Logo o novo intervalo é
a_{1}=0{,}625,\qquad b_{1}=4.

Passo 4

Iteração 2 — usar a_{1}=0{,}625, b_{1}=4 e calcular \bar{x}_{2}.
Valores já conhecidos:
f(a_{1})=f(0{,}625)=-9{,}755859375,\qquad f(b_{1})=f(4)=54.
Usando a forma \bar{x}=\dfrac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)} (porque às vezes facilita as contas):
\bar{x}_{2}=\frac{0{,}625\cdot 54 - 4\cdot(-9{,}755859375)}{54 - (-9{,}755859375)}.
Calculemos passo a passo (valores numéricos intermediários):
0{,}625\cdot54=33{,}75, \qquad 4\cdot(-9{,}755859375)=-39{,}0234375,
\text{numerador}=33{,}75 - (-39{,}0234375)=72{,}7734375, \qquad \text{denominador}=54 + 9{,}755859375=63{,}755859375.
Portanto
\bar{x}_{2}=\frac{72{,}7734375}{63{,}755859375}\approx 1{,}14143924\approx 1{,}14144.
Calcular f(\bar{x}_{2}) (aproximação):
f(1{,}14143924)\approx 1{,}14143924^{3}-10\approx -8{,}512837605\quad(\text{valor negativo}).
Como f(\bar{x}_{2})<0 e f(b_{1})=54>0, a nova dupla que preserva mudança de sinal é
a_{2}=\bar{x}_{2}=1{,}14143924\quad(\text{arred. }1{,}14144),\qquad b_{2}=4.

Passo 5

Iteração 3 — usar a_{2}\approx1{,}14143924, b_{2}=4 e calcular \bar{x}_{3}.
Para facilitar a conta uso a forma combinada (obtida a partir da fórmula):
\bar{x}=\frac{a\,f(b)-b\,f(a)}{f(b)-f(a)}.
Aqui f(a_{2})=a_{2}^{3}-10. Vamos calcular a_{2}^{3} com precisão suficiente e depois \bar{x}_{3}.
Cálculo de a_{2}^{3} (usando a_{2}=1{,}14143924):
a_{2}^{2}\approx 1{,}302883537\quad\Rightarrow\quad a_{2}^{3}=a_{2}^{2}\cdot a_{2}\approx 1{,}487162395.
Logo
f(a_{2})=a_{2}^{3}-10\approx -8{,}512837605.
Agora o denominador e numerador usados na fórmula:
\text{denominador}=f(b_{2})-f(a_{2})=54-(-8{,}512837605)=62{,}512837605,
\text{numerador}=a_{2}\,f(b_{2}) - b_{2}\,f(a_{2}) =54\cdot1{,}14143924 - 4\cdot(-8{,}512837605).
Calcule cada termo:
54\cdot1{,}14143924\approx 61{,}63771896, \qquad 4\cdot(-8{,}512837605)\approx -34{,}05135042.
Portanto
\text{numerador}\approx 61{,}63771896 - (-34{,}05135042)=95{,}68906938.
Finalmente
\bar{x}_{3}=\frac{95{,}68906938}{62{,}512837605}\approx 1{,}5307106\approx 1{,}53071.
Calcular f(\bar{x}_{3}) apenas para verificar sinal (não necessário para pedir as três iterações, mas instrutivo):
f(1{,}53071)\approx 1{,}53071^{3}-10\approx -6{,}403\ldots\\ (\text{negativo}),
logo o novo intervalo após a terceira iteração seria [1{,}53071,\,4], mas a questão pediu somente as três estimativas e os a,b usados em cada iteração, que acabamos de calcular.

Resposta

Iteração 1: a=0{,}00000, b=4{,}00000, \bar{x}=0{,}62500
Iteração 2: a=0{,}62500, b=4{,}00000, \bar{x}=1{,}14144
Iteração 3: a=1{,}14144, b=4{,}00000, \bar{x}=1{,}53071

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