Aplicando o método gráfico, estime um intervalo para as raízes das equações:
f(x)=x \cdot \operatorname{tg}(x)-1

Passo 1

O que o enunciado dá e o que pede.
  • A função dada é f(x)=x\cdot \operatorname{tg}(x)-1.
  • É pedido: aplicar o método gráfico para estimar intervalos onde estão as raízes de f (ou seja, valores de x tais que f(x)=0).
Informações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
  • A função tangente tem assíntotas verticais onde \cos x=0, ou seja em x=\dfrac{\pi}{2}+k\pi, k\in\mathbb{Z}. Nesses pontos f não está definida.
  • Em x=k\pi (zeros do seno e da tangente) vale \operatorname{tg}(k\pi)=0, logo f(k\pi)=-1 para todo k\in\mathbb{Z}.
  • O enunciado pede intervalos (encaixaduras) onde se localizam as raízes; usaremos sinais e comportamento da função entre assíntotas para estimar esses intervalos.

Passo 2

Comportamento da tangente e de f entre as assíntotas (ideia gráfica).
  • A tangente tem período \pi e, em cada intervalo aberto \left(k\pi-\frac{\pi}{2},\,k\pi+\frac{\pi}{2}\right),a função \operatorname{tg}(x) é contínua e estritamente crescente, indo de -\infty (à esquerda) até +\infty (à direita), cruzando 0 em x=k\pi.
  • Defina h(x)=x\operatorname{tg}(x). Então f(x)=h(x)-1.
    • Em x=k\pi temos h(k\pi)=0, logo f(k\pi)=-1<0.
    • Conforme x se aproxima da assíntota esquerda x\to\left(k\pi-\frac{\pi}{2}\right)^{+}, \operatorname{tg}(x)\to -\infty; o sinal de h(x)=x\operatorname{tg}(x) próximo a essa assíntota depende do sinal de x.
    • Conforme x\to\left(k\pi+\frac{\pi}{2}\right)^{-}, \operatorname{tg}(x)\to +\infty; aí h(x) tem sinal do sinal de x (positivo se x>0, negativo se x<0) e magnitude \to\pm\infty.
  • Conclusão qualitativa: em cada intervalo da forma \left(k\pi-\frac{\pi}{2},\,k\pi+\frac{\pi}{2}\right) a função f é contínua e passa por f(k\pi)=-1. Dependendo do sinal de x e dos limites nas bordas, f pode assumir sinais opostos nas metades do intervalo e, pelo Teorema do Valor Intermediário, ter raízes.

Passo 3

Determinar, por análise de sinais, onde existem raízes (existência e em qual metade do intervalo central).
Analise por casos em função de k\in\mathbb{Z}.
  1. Caso k=0 (intervalo \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right)):
  • À esquerda, x\to-\dfrac{\pi}{2}^{+}: \operatorname{tg}(x)\to -\infty e x<0, logo x\operatorname{tg}(x)\to +\infty. Portanto f(x)\to +\infty à esquerda.
  • Em x=0: f(0)=-1.
  • À direita, x\to\dfrac{\pi}{2}^{-}: \operatorname{tg}(x)\to +\infty e x>0, logo x\operatorname{tg}(x)\to +\infty. Portanto f(x)\to +\infty à direita.
  • Como f é contínua no intervalo e toma valor positivo perto das duas bordas da janela e valor negativo em 0, existem duas mudanças de sinal e, portanto, pelo menos duas raízes: uma em \left(-\dfrac{\pi}{2},0\right) e outra em \left(0,\dfrac{\pi}{2}\right).
  1. Caso k\ge 1 (intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) com x>0 em todo o intervalo):
  • À esquerda, x\to k\pi-\dfrac{\pi}{2}^{+}: \operatorname{tg}(x)\to -\infty, x>0 x\operatorname{tg}(x)\to -\infty, logo f\to -\infty.
  • Em x=k\pi: f(k\pi)=-1.
  • À direita, x\to k\pi+\dfrac{\pi}{2}^{-}: \operatorname{tg}(x)\to +\infty, x>0 x\operatorname{tg}(x)\to +\infty, logo f\to +\infty.
  • Assim, no intervalo, f vai de -\infty (esquerda) para -1 (centro) e para +\infty (direita). Logo só há uma mudança de sinal entre k\pi e a assíntota direita, portanto existe exatamente uma raiz em \left(k\pi,\,k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right). (Na metade esquerda do intervalo não há mudança de sinal porque vai de -\infty a -1.)
  1. Caso k\le -1 (intervalo \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right) com x<0 em todo o intervalo):
  • À esquerda, x\to k\pi-\dfrac{\pi}{2}^{+}: \operatorname{tg}(x)\to -\infty, x<0 x\operatorname{tg}(x)\to +\infty, logo f\to +\infty.
  • Em x=k\pi: f(k\pi)=-1.
  • À direita, x\to k\pi+\dfrac{\pi}{2}^{-}: \operatorname{tg}(x)\to +\infty, x<0 x\operatorname{tg}(x)\to -\infty, logo f\to -\infty.
  • Assim, no intervalo, f vai de +\infty (esquerda) para -1 (centro) e para -\infty (direita). Logo só há uma mudança de sinal entre a assíntota esquerda e k\pi, portanto existe exatamente uma raiz em \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},\,k\pi\right).
Resumo qualitativo: há duas raízes no intervalo central \left(-\dfrac{\pi}{2},\dfrac{\pi}{2}\right) (uma negativa e uma positiva). Para cada inteiro positivo k\ge1 existe exatamente uma raiz em \left(k\pi,\,k\pi+\dfrac{\pi}{2}\right). Para cada inteiro negativo k\le-1 existe exatamente uma raiz em \left(k\pi-\dfrac{\pi}{2},\,k\pi\right).

Passo 4

Afinação das encaixaduras (usar pontos intermediários para estreitar os intervalos).
Técnica: avaliar f em pontos simples onde \operatorname{tg} tem valor conhecido, p.ex. x=k\pi\pm\dfrac{\pi}{4}, porque \operatorname{tg}\!\left(\pm\dfrac{\pi}{4}\right)=\pm1.
  • Para k\ge1 (intervalo direito), calculemos em x=k\pi+\dfrac{\pi}{4}:
    f\!\left(k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)\cdot 1 -1 = k\pi+\dfrac{\pi}{4}-1.
    Para k\ge1 este valor é positivo (por exemplo, para k=1: \pi+\dfrac{\pi}{4}-1>0). Como f(k\pi)=-1<0, por continuidade existe uma raiz em
    \left(k\pi,\,k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right).
  • Para k\le-1 (intervalo esquerdo), calculemos em x=k\pi-\dfrac{\pi}{4}. Usando \operatorname{tg}\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=-1,
    f\!\left(k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)=\left(k\pi-\dfrac{\pi}{4}\right)(-1)-1 = -k\pi+\dfrac{\pi}{4}-1.
    Para k\le-1 esse valor é positivo (p.ex. k=-1 \pi+\dfrac{\pi}{4}-1>0). Como f(k\pi)=-1<0, existe uma raiz em
    \left(k\pi-\dfrac{\pi}{4},\,k\pi\right).
  • Para as duas raízes centrais:
    • No lado positivo do zero, em x=\dfrac{\pi}{4} temos \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=1, então f\!\left(\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}-1<0.Em x=\dfrac{\pi}{3}, \operatorname{tg}\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\sqrt{3} e f\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{3}-1>0.Portanto existe uma raiz positiva em \left(\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{3}\right).
    • No lado negativo do zero, em x=-\dfrac{\pi}{4} temos f\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right)=\dfrac{\pi}{4}-1<0,enquanto em x=-\dfrac{\pi}{3}, f\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)\cdot(-\sqrt{3})-1=\dfrac{\pi}{3}\sqrt{3}-1>0.Portanto existe uma raiz negativa em \left(-\dfrac{\pi}{3},\,-\dfrac{\pi}{4}\right).
Essas escolhas usam valores de tangente conhecidos e avaliação simples, o que é exatamente o espírito do “método gráfico” ou do uso do Teorema do Valor Intermediário para encaixar raízes em intervalos pequenos.

Passo 5

Conclusão organizada (resumo final das encaixaduras para todas as raízes).
  • Há duas raízes no intervalo central:
    • uma raiz em \left(-\dfrac{\pi}{3},\,-\dfrac{\pi}{4}\right);
    • outra raiz em \left(\dfrac{\pi}{4},\,\dfrac{\pi}{3}\right).
  • Para todo inteiro k\ge 1 existe exatamente uma raiz em
    \left(k\pi,\,k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right).
  • Para todo inteiro k\le -1 existe exatamente uma raiz em
    \left(k\pi-\dfrac{\pi}{4},\,k\pi\right).
Esses intervalos são fáceis de recordar e fáceis de obter a partir do gráfico e de avaliações em k\pi\pm\dfrac{\pi}{4}. Dá para estreitar mais numericamente se quiser (por método de bissecção ou Newton), mas para a estimativa gráfica esses encaixamentos são práticos e rigorosos pelo Teorema do Valor Intermediário.

Resposta

\text{raízes em } \left(-\dfrac{\pi}{3},-\dfrac{\pi}{4}\right),\\ \left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{\pi}{3}\right)í
\text{para todo inteiro }k\ge 1:\\ \text{uma raiz em }\left(k\pi,\,k\pi+\dfrac{\pi}{4}\right)
\text{para todo inteiro }k\le -1:\\ \text{uma raiz em }\left(k\pi-\dfrac{\pi}{4},\,k\pi\right)

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