Aplicando o método gráfico, estime um intervalo para as raízes das equações:
Passo 1
O que o enunciado dá e o que pede.
- A função dada é
. - É pedido: aplicar o método gráfico para estimar intervalos onde estão as raízes de
(ou seja, valores de tais que ).
Informações importantes extraídas do enunciado (sem resolver ainda):
- A função tangente tem assíntotas verticais onde
, ou seja em , . Nesses pontos não está definida. - Em
(zeros do seno e da tangente) vale , logo para todo . - O enunciado pede intervalos (encaixaduras) onde se localizam as raízes; usaremos sinais e comportamento da função entre assíntotas para estimar esses intervalos.
Passo 2
Comportamento da tangente e de
entre as assíntotas (ideia gráfica).
- A tangente tem período
e, em cada intervalo aberto a função é contínua e estritamente crescente, indo de (à esquerda) até (à direita), cruzando em . - Defina
. Então . - Em
temos , logo . - Conforme
se aproxima da assíntota esquerda , ; o sinal de próximo a essa assíntota depende do sinal de . - Conforme
, ; aí tem sinal do sinal de (positivo se , negativo se ) e magnitude .
- Em
- Conclusão qualitativa: em cada intervalo da forma
a função é contínua e passa por . Dependendo do sinal de e dos limites nas bordas, pode assumir sinais opostos nas metades do intervalo e, pelo Teorema do Valor Intermediário, ter raízes.
Passo 3
Determinar, por análise de sinais, onde existem raízes (existência e em qual metade do intervalo central).
Analise por casos em função de
.
- Caso
(intervalo ):
- À esquerda,
: e , logo . Portanto à esquerda. - Em
: . - À direita,
: e , logo . Portanto à direita. - Como
é contínua no intervalo e toma valor positivo perto das duas bordas da janela e valor negativo em , existem duas mudanças de sinal e, portanto, pelo menos duas raízes: uma em e outra em .
- Caso
(intervalo com em todo o intervalo):
- À esquerda,
: , ⇒ , logo . - Em
: . - À direita,
: , ⇒ , logo . - Assim, no intervalo,
vai de (esquerda) para (centro) e para (direita). Logo só há uma mudança de sinal entre e a assíntota direita, portanto existe exatamente uma raiz em . (Na metade esquerda do intervalo não há mudança de sinal porque vai de a .)
- Caso
(intervalo com em todo o intervalo):
- À esquerda,
: , ⇒ , logo . - Em
: . - À direita,
: , ⇒ , logo . - Assim, no intervalo,
vai de (esquerda) para (centro) e para (direita). Logo só há uma mudança de sinal entre a assíntota esquerda e , portanto existe exatamente uma raiz em .
Resumo qualitativo: há duas raízes no intervalo central
(uma negativa e uma positiva). Para cada inteiro positivo
existe exatamente uma raiz em
. Para cada inteiro negativo
existe exatamente uma raiz em
.
Passo 4
Afinação das encaixaduras (usar pontos intermediários para estreitar os intervalos).
Técnica: avaliar
em pontos simples onde
tem valor conhecido, p.ex.
, porque
.
-
Para
(intervalo direito), calculemos em : Paraeste valor é positivo (por exemplo, para : ). Como , por continuidade existe uma raiz em -
Para
(intervalo esquerdo), calculemos em . Usando , Paraesse valor é positivo (p.ex. dá ). Como , existe uma raiz em -
Para as duas raízes centrais:
- No lado positivo do zero, em
temos , então Em , e Portanto existe uma raiz positiva em - No lado negativo do zero, em
temos enquanto em , Portanto existe uma raiz negativa em
- No lado positivo do zero, em
Essas escolhas usam valores de tangente conhecidos e avaliação simples, o que é exatamente o espírito do “método gráfico” ou do uso do Teorema do Valor Intermediário para encaixar raízes em intervalos pequenos.
Passo 5
Conclusão organizada (resumo final das encaixaduras para todas as raízes).
-
Há duas raízes no intervalo central:
- uma raiz em
; - outra raiz em
.
- uma raiz em
-
Para todo inteiro
existe exatamente uma raiz em -
Para todo inteiro
existe exatamente uma raiz em
Esses intervalos são fáceis de recordar e fáceis de obter a partir do gráfico e de avaliações em
. Dá para estreitar mais numericamente se quiser (por método de bissecção ou Newton), mas para a estimativa gráfica esses encaixamentos são práticos e rigorosos pelo Teorema do Valor Intermediário.