Desafio: Uma corrente contínua de um rio empurra a pilastra de uma ponte. A equação do sistema é
. Determine a solução particular
.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
e pede para determinar a solução particular
desse problema.
Informações úteis que já temos explícitas:
Informações úteis que já temos explícitas:
- O membro à direita é a constante
. - A equação é linear e tem coeficientes constantes.
Passo 2
Estratégia para encontrar
(explicação didática e intuitiva).
Quando o segundo membro (forçamento) é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou soma dessas formas, um método prático é o método dos coeficientes indeterminados: supõe-se uma forma para com parâmetros desconhecidos e determina-se esses parâmetros substituindo na equação.
No caso de um forçamento constante (polinômio de grau zero), a primeira tentativa razoável é supor que seja uma constante também. Porém há uma ressalva: se a constante proposta for solução da equação homogênea associada, essa tentativa falha (resonância) e então é preciso multiplicar a tentativa por
. Portanto primeiro vamos checar se a constante é solução da homogênea.
Quando o segundo membro (forçamento) é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou soma dessas formas, um método prático é o método dos coeficientes indeterminados: supõe-se uma forma para
No caso de um forçamento constante (polinômio de grau zero), a primeira tentativa razoável é supor que
Passo 3
Análise da homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea é
A equação característica é
Calculando as raízes:
Nenhuma raiz é
, então a constante não é solução da homogênea. Conclusão: é válido fazer a tentativa
(constante).
Passo 4
Aplicar a tentativa
. Calcule as derivadas:
Substituindo na equação original:
Isso dá a equação algébrica
Logo
Passo 5
Verificação rápida: substituindo
na equação:
que coincide com o lado direito. Portanto
é de fato uma solução particular.
Comentário final de reforço: a solução geral da equação é a soma da homogênea com esta particular, isto é
Comentário final de reforço: a solução geral da equação é a soma da homogênea com esta particular, isto é
mas a questão pediu apenas
, que já encontramos.