Desafio: Uma corrente contínua de um rio empurra a pilastra de uma ponte. A equação do sistema é y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=20. Determine a solução particular Y_{p}.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 5y = 20,
e pede para determinar a solução particular Y_{p} desse problema.
Informações úteis que já temos explícitas:
  • O membro à direita é a constante 20.
  • A equação é linear e tem coeficientes constantes.

Passo 2

Estratégia para encontrar Y_{p} (explicação didática e intuitiva).
Quando o segundo membro (forçamento) é um polinômio, exponencial, seno/cosseno ou soma dessas formas, um método prático é o método dos coeficientes indeterminados: supõe-se uma forma para Y_{p} com parâmetros desconhecidos e determina-se esses parâmetros substituindo na equação.
No caso de um forçamento constante (polinômio de grau zero), a primeira tentativa razoável é supor que Y_{p} seja uma constante também. Porém há uma ressalva: se a constante proposta for solução da equação homogênea associada, essa tentativa falha (resonância) e então é preciso multiplicar a tentativa por x. Portanto primeiro vamos checar se a constante é solução da homogênea.

Passo 3

Análise da homogênea para ver se há ressonância. A equação homogênea é
y''+4y'+5y=0.
A equação característica é
r^{2}+4r+5=0.
Calculando as raízes:
r=\frac{-4\pm\sqrt{4^{2}-4\cdot1\cdot5}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{16-20}}{2}=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=-2\pm i.
Nenhuma raiz é 0, então a constante não é solução da homogênea. Conclusão: é válido fazer a tentativa Y_{p} = A (constante).

Passo 4

Aplicar a tentativa Y_{p}=A. Calcule as derivadas:
Y_{p}'=0,\qquad Y_{p}''=0.
Substituindo na equação original:
0 + 4\cdot 0 + 5A = 20.
Isso dá a equação algébrica
5A=20.
Logo
A=4.

Passo 5

Verificação rápida: substituindo Y_{p}=4 na equação:
y''+4y'+5y = 0+0+5\cdot 4 = 20,
que coincide com o lado direito. Portanto Y_{p}=4 é de fato uma solução particular.
Comentário final de reforço: a solução geral da equação é a soma da homogênea com esta particular, isto é
y(x)=e^{-2x}\big(C_{1}\cos x + C_{2}\sin x\big) + 4,
mas a questão pediu apenas Y_{p}, que já encontramos.

Resposta

Y_{p}=4

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