Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
a) \left\{\begin{array}{l}\frac{x}{2}+\frac{2 y}{3}=3 \\ 2 x+y=1\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver, aplicando a regra de Cramer, o sistema linear
\begin{cases} \frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=3,\\[4pt] 2x+y=1. \end{cases}
As incógnitas são x e y. Temos que encontrar os valores de x e y que satisfazem as duas equações simultaneamente.]

Passo 2

O que é a regra de Cramer (explicação didática)? Para um sistema 2\times2\) \[\begin{cases} a_{11}x+a_{12}y=b_1,\\[4pt] a_{21}x+a_{22}y=b_2, \end{cases}
definimos o determinante da matriz dos coeficientes
D=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}.
Se D\neq 0\], o sistema tem solução única dada por \[x=\frac{D_x}{D},\qquad y=\frac{D_y}{D},\] onde \(D_x é o determinante obtido trocando a coluna dos coeficientes de x pelos termos independentes (b_1,b_2), e D_y é o determinante obtido trocando a coluna dos coeficientes de y por (b_1,b_2). Vou aplicar isso passo a passo.]

Passo 3

Identifico os coeficientes do sistema dado comparando com a forma padrão:
a_{11}=\frac{1}{2},\quad a_{12}=\frac{2}{3},\quad b_1=3,
a_{21}=2,\quad a_{22}=1,\quad b_2=1.

Passo 4

Calculo o determinante D da matriz dos coeficientes:
D=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}=\frac{1}{2}\cdot 1-\frac{2}{3}\cdot 2.
Faço as contas passo a passo:
\frac{1}{2}-\frac{4}{3}.
Coloco em denominador comum 6:
\frac{1}{2}=\frac{3}{6},\qquad \frac{4}{3}=\frac{8}{6},
logo
D=\frac{3}{6}-\frac{8}{6}=-\frac{5}{6}.

Passo 5

Como D=-\frac{5}{6}\neq 0, o sistema tem solução única e posso usar Cramer para obter x e y.

Passo 6

Calculo D_x (substituo a coluna dos x por (b_1,b_2)):
D_x=\det\begin{pmatrix}3 & \dfrac{2}{3}\\[6pt] 1 & 1\end{pmatrix} =3\cdot 1-\frac{2}{3}\cdot 1.
Faço a subtração:
3-\frac{2}{3}=\frac{9}{3}-\frac{2}{3}=\frac{7}{3}.
Portanto D_x=\frac{7}{3}.]

Passo 7

Calculo D_y (substituo a coluna dos y por (b_1,b_2)):
D_y=\det\begin{pmatrix}\dfrac{1}{2} & 3\\[6pt] 2 & 1\end{pmatrix} =\frac{1}{2}\cdot 1-3\cdot 2.
Faço as contas:
\frac{1}{2}-6=\frac{1}{2}-\frac{12}{2}=-\frac{11}{2}.
Logo D_y=-\dfrac{11}{2}.]

Passo 8

Agora calculo x usando x=\dfrac{D_x}{D}:
x=\frac{\dfrac{7}{3}}{-\dfrac{5}{6}}=\frac{7}{3}\cdot\frac{6}{-5}.
Simplifico 6 com 3:
\frac{7}{1}\cdot\frac{2}{-5}=\frac{14}{-5}=-\frac{14}{5}.
Portanto x=-\dfrac{14}{5}.

Passo 9

Calculo y usando y=\dfrac{D_y}{D}:
y=\frac{-\dfrac{11}{2}}{-\dfrac{5}{6}}=\left(-\frac{11}{2}\right)\cdot\left(-\frac{6}{5}\right).
Os sinais negativos se cancelam, então
y=\frac{11}{2}\cdot\frac{6}{5}.
Simplifico 6 com 2:
y=\frac{11}{1}\cdot\frac{3}{5}=\frac{33}{5}.

Passo 10

Faço uma verificação rápida (substituindo na primeira equação) para ter confiança:
\frac{x}{2}+\frac{2y}{3}=\frac{-\tfrac{14}{5}}{2}+\frac{2\cdot \tfrac{33}{5}}{3} =-\frac{14}{10}+\frac{66}{15}.
Coloco em denominador comum 5:
-\frac{7}{5}+\frac{22}{5}=\frac{15}{5}=3,
que coincide com o lado direito da primeira equação. Na segunda:
2x+y=2\left(-\frac{14}{5}\right)+\frac{33}{5}=-\frac{28}{5}+\frac{33}{5}=\frac{5}{5}=1,
também confere. Portanto a solução está correta.

Resposta

x=-\dfrac{14}{5}\
y=\dfrac{33}{5}

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