Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
b) \left\{\begin{array}{l} x+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=\frac{1}{3} \\ -x+\frac{z}{4}=1 \\ y-z=-6 \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado dá o seguinte sistema de três equações com três incógnitas:
\begin{cases} x+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{2}=\dfrac{1}{3},\\[6pt] -x+\dfrac{z}{4}=1,\\[6pt] y-z=-6. \end{cases}
O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]

Passo 2

Vou usar a técnica que o enunciado pede (regra de Cramer). Primeiro, vou apresentar as definições e fórmulas básicas que vamos aplicar, explicando cada símbolo com calma.
Definições:
  • Matriz dos coeficientes A: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas em cada equação.
  • Vetor dos termos independentes b: é o vetor coluna com os termos do lado direito das equações.
  • Matriz A_i: é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
  • Determinante de uma matriz \det(\cdot): número associado à matriz; para uma 3\times3 usamos a fórmula abaixo.
Regra de Cramer (fórmula):
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)},\qquad y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)},\qquad z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}.
Aqui \det(A) é o determinante da matriz dos coeficientes e \det(A_x),\det(A_y),\det(A_z) são os determinantes das matrizes em que substituímos a coluna de x,y,z por b, respectivamente.
Fórmula prática para determinante de uma matriz 3\times3. Para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(M)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Cada letra representa um elemento da matriz; o cálculo é só aplicar essa expressão.]

Passo 3

Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor b. Extraí os coeficientes das equações dadas:
A=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] -1 & 0 & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & 1 & -1 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}\dfrac{1}{3}\\[4pt]1\\[4pt]-6\end{pmatrix}.]

Passo 4

Calculo do determinante \det(A) usando a fórmula para 3\times3. Com a=1,\;b=\dfrac{1}{3},\;c=\dfrac{1}{2},\;d=-1,\;e=0,\;f=\dfrac{1}{4},\;g=0,\;h=1,\;i=-1:
\det(A)=1\cdot(0\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot 1)-\tfrac{1}{3}\cdot\big((-1)\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot 0\big)+\tfrac{1}{2}\cdot\big((-1)\cdot 1-0\cdot 0\big).
Calcule passo a passo:
1\cdot(0- \tfrac{1}{4}) = -\tfrac{1}{4},
-\tfrac{1}{3}\cdot(1) = -\tfrac{1}{3},
\tfrac{1}{2}\cdot(-1) = -\tfrac{1}{2}.
Somando:
\det(A)=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{3}-\tfrac{1}{2}=-\frac{3+4+6}{12}=-\frac{13}{12}.
Observação importante: \det(A)\neq 0, portanto a regra de Cramer é aplicável e o sistema tem solução única.

Passo 5

Monte a matriz A_x (substituindo a coluna de x por b):
A_x=\begin{pmatrix} \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] 1 & 0 & \dfrac{1}{4}\\[6pt] -6 & 1 & -1 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(A_x) usando a fórmula:
\det(A_x)=\tfrac{1}{3}\cdot(0\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot 1)-\tfrac{1}{3}\cdot\big(1\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot(-6)\big)+\tfrac{1}{2}\cdot\big(1\cdot 1-0\cdot(-6)\big).
Calcule os termos:
\tfrac{1}{3}\cdot(0-\tfrac{1}{4})=-\tfrac{1}{12},
-\tfrac{1}{3}\cdot\big(-1 + \tfrac{6}{4}\big)=-\tfrac{1}{3}\cdot\big(-1+\tfrac{3}{2}\big)=-\tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{2}=-\tfrac{1}{6},
\tfrac{1}{2}\cdot(1)=\tfrac{1}{2}.
Somando:
\det(A_x)=-\tfrac{1}{12}-\tfrac{1}{6}+\tfrac{1}{2}=\frac{-1-2+6}{12}=\frac{3}{12}=\tfrac{1}{4}.]

Passo 6

Calculo de x pela regra de Cramer:
x=\frac{\det(A_x)}{\det(A)}=\frac{\tfrac{1}{4}}{-\tfrac{13}{12}}=\tfrac{1}{4}\cdot\left(-\tfrac{12}{13}\right)=-\tfrac{12}{52}=-\tfrac{3}{13}.

Passo 7

Monte a matriz A_y (substituindo a coluna de y por b):
A_y=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{2}\\[6pt] -1 & 1 & \dfrac{1}{4}\\[6pt] 0 & -6 & -1 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_y):
\det(A_y)=1\cdot\big(1\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot(-6)\big)-\tfrac{1}{3}\cdot\big((-1)\cdot(-1)-\tfrac{1}{4}\cdot 0\big)+\tfrac{1}{2}\cdot\big((-1)\cdot(-6)-1\cdot 0\big).
Calcule os termos:
1\cdot\big(-1 + \tfrac{6}{4}\big)=1\cdot\big(-1+\tfrac{3}{2}\big)=\tfrac{1}{2},
-\tfrac{1}{3}\cdot(1)=-\tfrac{1}{3},
\tfrac{1}{2}\cdot(6)=3.
Somando:
\det(A_y)=\tfrac{1}{2}-\tfrac{1}{3}+3=\frac{3-2+18}{6}=\frac{19}{6}.]

Passo 8

Calculo de y pela regra de Cramer:
y=\frac{\det(A_y)}{\det(A)}=\frac{\tfrac{19}{6}}{-\tfrac{13}{12}}=\tfrac{19}{6}\cdot\left(-\tfrac{12}{13}\right)=-\tfrac{19\cdot 12}{6\cdot 13}=-\tfrac{19\cdot 2}{13}=-\tfrac{38}{13}.

Passo 9

Monte a matriz A_z (substituindo a coluna de z por b):
A_z=\begin{pmatrix} 1 & \dfrac{1}{3} & \dfrac{1}{3}\\[6pt] -1 & 0 & 1\\[6pt] 0 & 1 & -6 \end{pmatrix}.
Calculo \det(A_z):
\det(A_z)=1\cdot(0\cdot(-6)-1\cdot 1)-\tfrac{1}{3}\cdot\big((-1)\cdot(-6)-1\cdot 0\big)+\tfrac{1}{3}\cdot\big((-1)\cdot 1-0\cdot 0\big).
Calcule os termos:
1\cdot(0-1)=-1,
-\tfrac{1}{3}\cdot(6)=-2,
\tfrac{1}{3}\cdot(-1)=-\tfrac{1}{3}.
Somando:
\det(A_z)=-1-2-\tfrac{1}{3}=-3-\tfrac{1}{3}=-\tfrac{10}{3}.]

Passo 10

Calculo de z pela regra de Cramer:
z=\frac{\det(A_z)}{\det(A)}=\frac{-\tfrac{10}{3}}{-\tfrac{13}{12}}=-\tfrac{10}{3}\cdot\left(-\tfrac{12}{13}\right)=\tfrac{120}{39}=\tfrac{40}{13}.

Passo 11

Verificação rápida (só para dar segurança): substituindo \;x=-\tfrac{3}{13},\;y=-\tfrac{38}{13},\;z=\tfrac{40}{13}\; na primeira equação:
x+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=-\tfrac{3}{13}-\tfrac{38}{39}+\tfrac{40}{26}=\tfrac{26}{78}=\tfrac{1}{3},
na segunda:
-x+\frac{z}{4}=\tfrac{3}{13}+\tfrac{10}{13}=1,
na terceira:
y-z=-\tfrac{38}{13}-\tfrac{40}{13}=-\tfrac{78}{13}=-6.
Tudo confere.

Resposta

x=-\dfrac{3}{13}
y=-\dfrac{38}{13}
z=\dfrac{40}{13}

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