Aplicando a regra de Cramer, resolva os sistemas.
b) \left\{\begin{array}{l}
x+\frac{y}{3}+\frac{z}{2}=\frac{1}{3} \\
-x+\frac{z}{4}=1 \\
y-z=-6
\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado dá o seguinte sistema de três equações com três incógnitas:
O que se pede: encontrar os valores de x, y e z que satisfazem todas as três equações simultaneamente.]
Passo 2
Vou usar a técnica que o enunciado pede (regra de Cramer). Primeiro, vou apresentar as definições e fórmulas básicas que vamos aplicar, explicando cada símbolo com calma.
Definições:
Matriz dos coeficientes A: é a matriz formada pelos coeficientes das incógnitas em cada equação.
Vetor dos termos independentes b: é o vetor coluna com os termos do lado direito das equações.
Matriz A_i: é a matriz obtida de A substituindo a i-ésima coluna por b.
Determinante de uma matriz \det(\cdot): número associado à matriz; para uma 3\times3 usamos a fórmula abaixo.
Aqui \det(A) é o determinante da matriz dos coeficientes e \det(A_x),\det(A_y),\det(A_z) são os determinantes das matrizes em que substituímos a coluna de x,y,z por b, respectivamente.
Fórmula prática para determinante de uma matriz 3\times3. Para
M=\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix},
temos
\det(M)=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Cada letra representa um elemento da matriz; o cálculo é só aplicar essa expressão.]
Passo 3
Escrevemos a matriz dos coeficientes A e o vetor b. Extraí os coeficientes das equações dadas:
Calculo do determinante \det(A) usando a fórmula para 3\times3. Com a=1,\;b=\dfrac{1}{3},\;c=\dfrac{1}{2},\;d=-1,\;e=0,\;f=\dfrac{1}{4},\;g=0,\;h=1,\;i=-1: