Aplicando o teorema chinês do resto (TCR) resolva os seguintes sistemas de conguências lineares com duas ECL, caso exista solução. Se não for possível aplicar o TCR resolva de forma direta.
Passo 1
Opa! Então o problema é o seguinte: a gente quer encontrar todos os inteiros
que satisfazem simultaneamente
Isso faz parte da matéria de “congruências” e, mais especificamente, do Teorema Chinês do Resto (TCR). Para usar o TCR a gente precisa que os módulos (aqui 26 e 33) sejam coprimos, e depois aplicar fórmula com o algoritmo de Euclides estendido para achar inversos.
Passo 2
Primeiro, verifica se 26 e 33 são coprimos, isto é, se
.
– Fatorando: ,
.
– Não têm fatores comuns, logo .
Como deu 1, podemos usar o TCR.
– Fatorando:
– Não têm fatores comuns, logo
Como deu 1, podemos usar o TCR.
Passo 3
No TCR, calculamos:
Depois definimos
A ideia é escrever a solução como
em que
,
, e cada
é o inverso de
módulo do outro módulo.
Passo 4
Agora precisamos achar
tal que
ou seja
Note que
, então buscamos
Usando o algoritmo de Euclides estendido (ou tentativa rápida), encontramos que
logo
.
Passo 5
Em seguida, achamos
tal que
ou seja
Aplicando o Euclides estendido (detalhe: 33=26·1+7, 26=7·3+5, 7=5·1+2, 5=2·2+1 e voltando), ficamos com
portanto
.
Passo 6
Agora montamos a solução via TCR:
Calculando:
Mas isso é uma representação “grande” — a gente sempre reduz módulo
:
Resposta
A solução geral é