Resolva as congruências lineares:
.
Passo 1
O exercício pede para resolver a congruência linear
6·x ≡ 15 (mod 21)
Conteúdo: congruências lineares.
O que vamos precisar:
O que vamos precisar:
- Calcular o máximo divisor comum (gcd) entre 6 e 21.
- Verificar se esse gcd divide o termo à direita (15).
- Se sim, simplificar a congruência dividindo tudo pelo gcd.
- Encontrar o inverso modular do coeficiente de x na congruência simplificada.
- Gerar todas as soluções módulo 21.
Passo 2
Primeiro, vamos calcular o gcd(6, 21).
Teoria: gcd(a,b) é o maior número que divide a e b sem deixar resto.
Teoria: gcd(a,b) é o maior número que divide a e b sem deixar resto.
- 21 ÷ 6 = 3 resto 3
- 6 ÷ 3 = 2 resto 0
Logo gcd(6, 21) = 3.
Passo 3
Agora, verificamos se
15 ÷ 3 = 5, resto 0 → sim, divide.
Isso garante que exista solução, e podemos simplificar a congruência dividindo tudo por 3.
3
(o gcd) divide o termo do lado direito, que é 15.15 ÷ 3 = 5, resto 0 → sim, divide.
Isso garante que exista solução, e podemos simplificar a congruência dividindo tudo por 3.
Passo 4
Dividindo a congruência original por 3:
(6/3)·x ≡ 15/3 (mod 21/3)
fica
2·x ≡ 5 (mod 7)
Passo 5
Agora precisamos achar o inverso de 2 módulo 7.
Teoria: o inverso de a mod m é um número a⁻¹ tal que a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m).
Testando rápido ou usando o Algoritmo de Euclides Estendido, descobrimos:
2·4 = 8 ≡ 1 (mod 7)
Logo, o inverso de 2 em módulo 7 é 4.
Teoria: o inverso de a mod m é um número a⁻¹ tal que a·a⁻¹ ≡ 1 (mod m).
Testando rápido ou usando o Algoritmo de Euclides Estendido, descobrimos:
2·4 = 8 ≡ 1 (mod 7)
Logo, o inverso de 2 em módulo 7 é 4.
Passo 6
Multiplicamos ambos os lados de
2·x ≡ 5 (mod 7)
pelo inverso 4:
x ≡ 4·5 = 20 (mod 7)
E 20 mod 7 = 6 (porque 20 = 2·7 + 6).
Então a solução geral desta congruência reduzida é
Então a solução geral desta congruência reduzida é
x ≡ 6 (mod 7)
Passo 7
Como originalmente estávamos em módulo 21, uma solução x ≡ 6 (mod 7) gera 3 soluções distintas em mod 21 (porque 21/7 = 3).
Elas são:
x = 6 + 7·k, com k = 0,1,2
→ x = 6, 13, 20 (todos considerados mod 21)
Elas são:
x = 6 + 7·k, com k = 0,1,2
→ x = 6, 13, 20 (todos considerados mod 21)
Resposta
As soluções da congruência
6·x ≡ 15 (mod 21)
são
x ≡ 6, 13, 20 (mod 21).