Aplicando o teorema chinês do resto (TCR) resolva os seguintes sistemas de conguências lineares com duas ECL, caso exista solução. Se não for possível aplicar o TCR resolva de forma direta.
Passo 1
Beleza, então o enunciado pede pra gente achar todos os
que satisfazem o sistema
Isso é um problema clássico de Teorema Chinês do Resto (TCR). Para resolver, a gente vai precisar:
- Verificar que os módulos são coprimos (ou seja,
). - Usar uma substituição ou a fórmula padrão do TCR, calculando inverso modular.
Passo 2
Primeiro, confere se
. Como 19 é primo e não divide 12, de fato
.
Isso significa que o TCR vale e vai existir solução única módulo .
Isso significa que o TCR vale e vai existir solução única módulo
Passo 3
Vamos usar o método da substituição. Da primeira congruência temos
para algum inteiro
. A ideia é achar
que faz isso servir também à segunda congruência.
Passo 4
Substitui em
:
Agora precisamos do inverso de
módulo
. Como
temos
.
Passo 5
Multiplicando a congruência
pelo inverso
, dá
Ou seja,
para algum inteiro
.
Passo 6
Reescreve
:
Resposta
A solução geral é