Aplicando o teorema chinês do resto (TCR) resolva os seguintes sistemas de conguências lineares com duas ECL, caso exista solução. Se não for possível aplicar o TCR resolva de forma direta.
l x equiv 5(bmod 12) x equiv 7(bmod 19)

Passo 1

Beleza, então o enunciado pede pra gente achar todos os x equiv 5 pmod12, x equiv 7 pmod19 que satisfazem o sistema
Isso é um problema clássico de Teorema Chinês do Resto (TCR). Para resolver, a gente vai precisar:
  1. Verificar que os módulos são coprimos (ou seja, ).
  2. Usar uma substituição ou a fórmula padrão do TCR, calculando inverso modular.

Passo 2

Primeiro, confere se . Como 19 é primo e não divide 12, de fato .
Isso significa que o TCR vale e vai existir solução única módulo .

Passo 3

Vamos usar o método da substituição. Da primeira congruência temos
x ;=; 12a + 5
para algum inteiro . A ideia é achar que faz isso servir também à segunda congruência.

Passo 4

Substitui em 12a + 5 equiv 7 pmod19 Longrightarrow 12a equiv 2 pmod19 :
12cdot 8 = 96 equiv 1 pmod19,
Agora precisamos do inverso de módulo . Como
temos .

Passo 5

Multiplicando a congruência a equiv 8cdot 2 = 16 pmod19 pelo inverso , dá
Ou seja, para algum inteiro .

Passo 6

Reescreve x = 12a + 5 = 12(16 + 19k) + 5 = 192 + 228k + 5 = 197 + 228k :

Resposta

A solução geral é
boxedx equiv 197 pmod228

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