Aplicar a Fórmula de Lagrange para obter por interpolação y(1, 58) na tabela abaixo, fornecendo os coeficientes Li(1,58) do polinômio interpolador. Apresentar o desenvolvimento de cálculo.
x 1,01 1,32 1,40 1,87 1,88 2,39
y 0,2420 0,1942 0,1497 0,1109 0,079 0,0540

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente estimar o valor de P(x)=sumi=1^6 yi,Li(x) em usando o polinômio interpolador de Lagrange com os 6 pares dados. O conteúdo é “Interpolação Polinomial – Fórmula de Lagrange” e vamos precisar:
  • Entender que o polinômio interpolador de grau 5 é onde cada é a base de Lagrange.
  • Calcular esses e depois somar .

Passo 2

A base de Lagrange Li(x);=;prodsubstackj=1 jneq i^6x - xjxi - xj, é definida por
Li(1,58)=prodjneq i1,58 - xjxi - xj,
No nosso caso vamos usar , então
Só multiplicar todos os fatores .

Passo 3

Calculemos cada L1=1,58-1,321,01-1,32times1,58-1,401,01-1,40 times1,58-1,871,01-1,87times1,58-1,881,01-1,88 times1,58-2,391,01-2,39approx0,02648 . Vou numerar os pontos de 1 a 6 conforme a tabela:
L2=1,58-1,011,32-1,01times1,58-1,401,32-1,40 times1,58-1,871,32-1,87times1,58-1,881,32-1,88 times1,58-2,391,32-2,39approx-0,8847 .
  1. L3=1,58-1,011,40-1,01times1,58-1,321,40-1,32 times1,58-1,871,40-1,87times1,58-1,881,40-1,88 times1,58-2,391,40-2,39approx1,497 :
L4=1,58-1,011,87-1,01times1,58-1,321,87-1,32 times1,58-1,401,87-1,40times1,58-1,881,87-1,88 times1,58-2,391,87-2,39approx5,6077
  1. L5=1,58-1,011,88-1,01times1,58-1,321,88-1,32 times1,58-1,401,88-1,40times1,58-1,871,88-1,87 times1,58-2,391,88-2,39approx-5,2508 :
L6=1,58-1,012,39-1,01times1,58-1,322,39-1,32 times1,58-1,402,39-1,40times1,58-1,872,39-1,87 times1,58-1,882,39-1,88approx0,00596
  1. :
  1. :
  1. :
  1. :

Passo 4

Agora montamos P(1,58)&=0,2420cdot0,02648 +0,1942cdot(-0,8847) +0,1497cdot1,497 &+0,1109cdot5,6077 +0,0790cdot(-5,2508) +0,0540cdot0,00596 approx0,2659 :

Resposta

O valor interpolado é aproximadamente
boxedy(1,58)approx0,2660

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