Demonstre e prove que o polinômio interpolado de Lagrange de ordem
é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton.
Passo 1
Vamos resumir o que precisamos fazer: o exercício pede para demonstrar que o polinômio interpolador de Lagrange de ordem $ n $ é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton. Isso está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, especificamente envolvendo os métodos de Lagrange e de Newton. Para resolver isso, vamos precisar entender as duas formas de interpolação e mostrar que elas resultam no mesmo polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é a Interpolação de Lagrange. Esse método constrói um polinômio que passa por $ n+1 $ pontos dados
. O polinômio de Lagrange é dado por:
onde $ L_i(x) $ são os polinômios de Lagrange, definidos por:
Passo 3
Agora, vamos lembrar a forma da Interpolação de Newton. Esse método também constrói um polinômio que passa pelos mesmos $ n+1 $ pontos, mas de uma maneira um pouco diferente. O polinômio de Newton é escrito como:
Aqui, os coeficientes $ a_k $ são chamados de diferenças divididas de Newton.
Passo 4
Para mostrar que os dois métodos são equivalentes, precisamos demonstrar que os coeficientes do polinômio de Lagrange coincidem com os da forma de Newton. Isso envolve expandir o polinômio de Lagrange e mostrar que ele pode ser reescrito na forma de Newton.
Vamos considerar o polinômio de Lagrange e expandi-lo:
Cada termo $ \prod_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^{n} (x - x_j) $ é um produto que pode ser reescrito como uma combinação de termos lineares, quadráticos, etc., que se assemelha à forma de Newton.
Passo 5
Por outro lado, na forma de Newton, os termos $ (x - x_0), (x - x_0)(x - x_1), \dots $ já estão estruturados de maneira que cada novo termo adiciona um fator $ (x - x_k) $ e um coeficiente $ a_k $ que incorpora as diferenças divididas.
Ao comparar os dois polinômios, percebemos que ambos são construídos para passar pelos mesmos pontos e são expressos como somas de termos que envolvem produtos de fatores $ (x - x_j) $. Portanto, estruturalmente, eles são equivalentes.
Passo 6
Além disso, a equivalência pode ser formalmente demonstrada através da indução matemática, mostrando que ambos os métodos satisfazem as mesmas condições de interpolação e que os coeficientes são correspondentes.
Resposta
Portanto, demonstramos que o polinômio interpolador de Lagrange de ordem $ n $ é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton, já que ambos os métodos resultam no mesmo polinômio que passa pelos $ n+1 $ pontos dados.