Demonstre e prove que o polinômio interpolado de Lagrange de ordem n é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton.

Passo 1

Vamos resumir o que precisamos fazer: o exercício pede para demonstrar que o polinômio interpolador de Lagrange de ordem $ n $ é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton. Isso está dentro do conteúdo de Interpolação Polinomial, especificamente envolvendo os métodos de Lagrange e de Newton. Para resolver isso, vamos precisar entender as duas formas de interpolação e mostrar que elas resultam no mesmo polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é a Interpolação de Lagrange. Esse método constrói um polinômio que passa por $ n+1 $ pontos dados n+1 . O polinômio de Lagrange é dado por:
(x0, y0), (x1, y1), dots, (xn, yn)
onde $ L_i(x) $ são os polinômios de Lagrange, definidos por:
P(x) = sumi=0^n yi cdot Li(x)

Passo 3

Agora, vamos lembrar a forma da Interpolação de Newton. Esse método também constrói um polinômio que passa pelos mesmos $ n+1 $ pontos, mas de uma maneira um pouco diferente. O polinômio de Newton é escrito como:
n+1
Aqui, os coeficientes $ a_k $ são chamados de diferenças divididas de Newton.

Passo 4

Para mostrar que os dois métodos são equivalentes, precisamos demonstrar que os coeficientes do polinômio de Lagrange coincidem com os da forma de Newton. Isso envolve expandir o polinômio de Lagrange e mostrar que ele pode ser reescrito na forma de Newton.
Vamos considerar o polinômio de Lagrange e expandi-lo:
P(x) = sumi=0^n yi cdot prodsubstackj=0 j neq i^n x - xjxi - xj
Cada termo $ \prod_{\substack{j=0 \ j \neq i}}^{n} (x - x_j) $ é um produto que pode ser reescrito como uma combinação de termos lineares, quadráticos, etc., que se assemelha à forma de Newton.

Passo 5

Por outro lado, na forma de Newton, os termos $ (x - x_0), (x - x_0)(x - x_1), \dots $ já estão estruturados de maneira que cada novo termo adiciona um fator $ (x - x_k) $ e um coeficiente $ a_k $ que incorpora as diferenças divididas.
Ao comparar os dois polinômios, percebemos que ambos são construídos para passar pelos mesmos pontos e são expressos como somas de termos que envolvem produtos de fatores $ (x - x_j) $. Portanto, estruturalmente, eles são equivalentes.

Passo 6

Além disso, a equivalência pode ser formalmente demonstrada através da indução matemática, mostrando que ambos os métodos satisfazem as mesmas condições de interpolação e que os coeficientes são correspondentes.

Resposta

Portanto, demonstramos que o polinômio interpolador de Lagrange de ordem $ n $ é equivalente à forma de interpolação polinomial de Newton, já que ambos os métodos resultam no mesmo polinômio que passa pelos $ n+1 $ pontos dados.

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