Demonstrar o método dos mínimos quadrados para o ajuste de uma superfície plana a um conjunto de dados. Determinar a função que melhor se ajuste ao conjunto de pontos da tabela. Apresentar o desenvolvimento de cálculo.
x 0 2 3 5 8 12 16 21 25 29 31 40
y -2,0 -1,0 -0,5 -0,5 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 8,0 5,0 4,0
f(x, y) 10,0 9,5 9,0 8,5 7,5 8,5 9,0 9,5 10,0 10,5 11,0 13,0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar como funciona o método dos mínimos quadrados pra ajustar uma superfície plana (isto é, um plano) a um conjunto de dados . O conteúdo aqui é Regressão Linear Múltipla (modelo de um plano) e vamos precisar:
  1. Postular o modelo .
  2. Definir a soma dos quadrados dos erros e usar condições de ótimo (derivadas parciais zero) para achar as equações normais.
  3. Calcular as somas necessárias ( ) e resolver o sistema para .

Passo 2

A gente assume que o valor previsto pelo plano é
hat fi = a + b,xi + c,yi
e o erro em cada ponto é Q(a,b,c)=sumi=1^n ei^2 = sumi=1^n l(fi - (a + b,xi + c,yi)r)^2 . O método dos mínimos quadrados pede que minimizemos
partial Qpartial a=0, partial Qpartial b=0, partial Qpartial c=0,
Para achar o mínimo, fazemos
o que gera as chamadas equações normais.

Passo 3

As equações normais ficam:
n,a + sum xi,b + sum yi,c = sum fi,[6pt] sum xi,a + sum xi^2,b + sum xi yi,c = sum xi fi,[6pt] sum yi,a + sum xi yi,b + sum yi^2,c = sum yi fi

Passo 4

Agora calculamos as somas (são 12 pontos):
n&=12, &sum xi&=192, &sum yi&=29, &sum fi&=116, sum xi^2&=4970, &sum yi^2&=176.5, &sum xi yi&=855, &sum xi fi&=2009.5, &&sum yi fi&=302.25

Passo 5

Substituindo nas normais, temos o sistema
12,a + 192,b + 29,c = 116, 192,a + 4970,b + 855,c = 2009.5, 29,a + 855,b + 176.5,c = 302.25

Passo 6

A gente resolve esse sistema (por eliminação de Gauss, por exemplo) e encontra, em aproximação decimal:
b approx 0.1582, c approx -0.3753,
e então
a = 116 - 192,b - 29,c12approx 8.0418

Resposta

A função planar que melhor ajusta os dados, em mínimos quadrados, é
boxedhat f(x,y)=8.0418 ;+;0.1582,x;-;0.3753,y

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