Demonstrar o método dos mínimos quadrados para o ajuste de uma superfície plana a um conjunto de dados. Determinar a função que melhor se ajuste ao conjunto de pontos da tabela. Apresentar o desenvolvimento de cálculo.
|
0 | 2 | 3 | 5 | 8 | 12 | 16 | 21 | 25 | 29 | 31 | 40 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
1,0 | 2,0 | 3,0 | 4,0 | 6,0 | 8,0 | 5,0 | 4,0 |
|
10,0 | 9,5 | 9,0 | 8,5 | 7,5 | 8,5 | 9,0 | 9,5 | 10,0 | 10,5 | 11,0 | 13,0 |
Passo 1
Beleza, o enunciado pede pra gente mostrar como funciona o método dos mínimos quadrados pra ajustar uma superfície plana (isto é, um plano) a um conjunto de dados
. O conteúdo aqui é Regressão Linear Múltipla (modelo de um plano) e vamos precisar:
- Postular o modelo
. - Definir a soma dos quadrados dos erros e usar condições de ótimo (derivadas parciais zero) para achar as equações normais.
- Calcular as somas necessárias (
) e resolver o sistema para .
Passo 2
A gente assume que o valor previsto pelo plano é
e o erro em cada ponto é
. O método dos mínimos quadrados pede que minimizemos
Para achar o mínimo, fazemos
o que gera as chamadas equações normais.
Passo 3
As equações normais ficam:
Passo 4
Agora calculamos as somas (são 12 pontos):
Passo 5
Substituindo nas normais, temos o sistema
Passo 6
A gente resolve esse sistema (por eliminação de Gauss, por exemplo) e encontra, em aproximação decimal:
e então
Resposta
A função planar que melhor ajusta os dados, em mínimos quadrados, é