Dada a tabela
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1 | 2 | 4 | 6 | 9 | 10 | 13 | 18 | 20 | 23 | 27 | 31 | 42 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
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-2 | -1 | 1 | 2 | 3 | 1 | -3 | -6 | -5 | 1 | 5 | 8 | 4 |
Determinar os conjuntos de polinômios de graus possíveis que interpola o conjunto de pontos dados. Obter
para cada conjunto de polinômios interpoladores. Apresentar os desenvolvimentos teóricos e de cálculo.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela de 13 pontos
, com
e
.
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
- Conceito de polinômio interpolador de grau ≤ n–1 e unicidade;
- Lema de que, se você quiser grau maior, sobra liberdade infinita;
- Fórmula de Lagrange para avaliar no ponto
.
Passo 2
Teoria de graus possíveis:
- Se eu quero «exatamente» passar pelos 13 pontos com um polinômio de grau ≤ 12, existe um e só um (grau até 12).
- Se eu tento grau < 12, em geral não dá (13 condições num polinômio com ≤ 12 coeficientes).
- Se eu permitir grau > 12, marco um coeficiente extra livre e ainda faço o polinômio passar pelos 13 pontos, logo há infinitas soluções.
Logo os “conjuntos de graus” que funcionam são:
G1 = {12} (único polinômio de grau ≤ 12)
G2 = {m ∈ ℕ | m ≥ 13} (infinitos interpoladores de grau m)
G1 = {12} (único polinômio de grau ≤ 12)
G2 = {m ∈ ℕ | m ≥ 13} (infinitos interpoladores de grau m)
Passo 3
Construção do interpolador de grau 12 e cálculo de
:
Usamos a fórmula de Lagrange. Seja
Usamos a fórmula de Lagrange. Seja
Então
Esse valor é único. A expressão acima já é o “desenvolvimento de cálculo” – basta substituir os
, os denominadores
e o
.
Passo 4
Família de graus ≥ 13 e
geral:
Qualquer interpolador de grau pode ser escrito como
Qualquer interpolador de grau
onde
e
é um parâmetro livre.
Avaliado em :
Avaliado em
Cálculo rápido de
:
Resposta
- Conjunto de graus que funcionam:
- Grau exato 12 → único interpolador.
- Grau→ infinitos interpoladores. - Para grau 12:
- Para grau
: onde é parâmetro livre.