Dada a tabela
h 1 2 4 6 9 10 13 18 20 23 27 31 42
w -2 -1 1 2 3 1 -3 -6 -5 1 5 8 4
Determinar os conjuntos de polinômios de graus possíveis que interpola o conjunto de pontos dados. Obter w(1 2) para cada conjunto de polinômios interpoladores. Apresentar os desenvolvimentos teóricos e de cálculo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma tabela de 13 pontos , com
e
.
Conteúdo: interpolação polinomial.
O que vamos precisar:
  1. Conceito de polinômio interpolador de grau ≤ n–1 e unicidade;
  2. Lema de que, se você quiser grau maior, sobra liberdade infinita;
  3. Fórmula de Lagrange para avaliar no ponto .

Passo 2

Teoria de graus possíveis:
  • Se eu quero «exatamente» passar pelos 13 pontos com um polinômio de grau ≤ 12, existe um e só um (grau até 12).
  • Se eu tento grau < 12, em geral não dá (13 condições num polinômio com ≤ 12 coeficientes).
  • Se eu permitir grau > 12, marco um coeficiente extra livre e ainda faço o polinômio passar pelos 13 pontos, logo há infinitas soluções.
Logo os “conjuntos de graus” que funcionam são:
G1 = {12} (único polinômio de grau ≤ 12)
G2 = {m ∈ ℕ | m ≥ 13} (infinitos interpoladores de grau m)

Passo 3

Construção do interpolador de grau 12 e cálculo de p12(h)=sumi=1^13wi;elli(h), elli(h)=prodsubstackj=1jneq i^13h-hjhi-hj :
Usamos a fórmula de Lagrange. Seja
w(12)=p12(12) =sumi=1^13wi;prodjneq i12-hjhi-hj
Então
Esse valor é único. A expressão acima já é o “desenvolvimento de cálculo” – basta substituir os , os denominadores e o .

Passo 4

Família de graus ≥ 13 e q(h)=p12(h);+;alpha;(h-1)(h-2)(h-4)cdots(h-42), geral:
Qualquer interpolador de grau w(12)=q(12) =p12(12) ;+;alpha;prodi=1^13(12-hi) pode ser escrito como
12-1,2,4,6,9,10,13,18,20,23,27,31,42 =11,10,8,6,3,2,-1,-6,-8,-11,-15,-19,-30,
onde e é um parâmetro livre.
Avaliado em :
Cálculo rápido de :
desses 13 fatores dá produto

Resposta

  1. Conjunto de graus que funcionam:
    - Grau exato 12 → único interpolador.
    - Grau w(12) =sumi=1^13wiprodjneq i12-hj,hi-hj, → infinitos interpoladores.
  2. Para grau 12: w(12) =p12(12);+;alpha;l(-143016192000r),
  3. Para grau : onde é parâmetro livre.

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