Depois de aplicar o processo de fatoraçāo LU ao sistema A \mathbf{X}=B, com B=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 4\end{array}\right]^{T} foram encontradas as matrizes
O que o exercício pede é escrever explicitamente o sistema A\mathbf{X}=B (ou seja, encontrar a matriz A correspondente e escrever as equações). As informações relevantes fornecidas são exatamente B e as duas matrizes acima.]
Passo 2
Interpretação das matrizes dadas e estratégia para obter A.
Quando se faz fatoração LU normalmente obtemos uma matriz triangular inferior L (com 1’s na diagonal) e uma matriz triangular superior U. Observe as matrizes fornecidas:
A segunda matriz tem 1’s na diagonal e só tem elementos abaixo da diagonal não nulos; isso caracteriza uma matriz triangular inferior com diagonais iguais a 1. Portanto essa é a matriz L:
Para obter A precisamos multiplicar L por U. Agora vou mostrar como multiplicar matrizes e calcular cada elemento de A.
Passo 3
Regra de multiplicação de matrizes (aula rápida e prática).
Seja A=L\,U. O elemento genérico de A na linha i e coluna j é dado por
A_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Isto significa: pegue a linha i de L e faça o produto escalar com a coluna j de U. Vou calcular A elemento a elemento, mostrando os somatórios (assim você pode reproduzir na prova sem erro).
O sistema A\mathbf{X}=B com \mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} corresponde, linha a linha, aos produtos das linhas de A pelos componentes de \mathbf{X} igualando aos componentes de B. Portanto as equações são:
primeira linha: 1\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=1,
segunda linha: 2\cdot x_1-1\cdot x_2-1\cdot x_3=4,
terceira linha: 3\cdot x_1-1\cdot x_2+1\cdot x_3=4.]