Depois de aplicar o processo de fatoraçāo LU ao sistema A \mathbf{X}=B, com B=\left[\begin{array}{lll}1 & 4 & 4\end{array}\right]^{T} foram encontradas as matrizes
\left[\begin{array}{rrr} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] \text { e }\left[\begin{array}{lll} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{array}\right] .
O sistema A \mathbf{X}=B é:

Passo 1

O enunciado dá o sistema A\mathbf{X}=B com o vetor do termo independente
B=\begin{pmatrix}1\\[4pt]4\\[4pt]4\end{pmatrix}
e diz que, após fatoração LU, foram encontradas as duas matrizes
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \qquad\text{e}\qquad \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
O que o exercício pede é escrever explicitamente o sistema A\mathbf{X}=B (ou seja, encontrar a matriz A correspondente e escrever as equações). As informações relevantes fornecidas são exatamente B e as duas matrizes acima.]

Passo 2

Interpretação das matrizes dadas e estratégia para obter A.
Quando se faz fatoração LU normalmente obtemos uma matriz triangular inferior L (com 1’s na diagonal) e uma matriz triangular superior U. Observe as matrizes fornecidas:
  • A segunda matriz tem 1’s na diagonal e só tem elementos abaixo da diagonal não nulos; isso caracteriza uma matriz triangular inferior com diagonais iguais a 1. Portanto essa é a matriz L:
L=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 3 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
  • A primeira matriz é triangular superior (zeros abaixo da diagonal), logo é a matriz U:
U=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & -1 & -3 \\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.
A relação entre A, L e U é
A = L\,U.
Para obter A precisamos multiplicar L por U. Agora vou mostrar como multiplicar matrizes e calcular cada elemento de A.

Passo 3

Regra de multiplicação de matrizes (aula rápida e prática).
Seja A=L\,U. O elemento genérico de A na linha i e coluna j é dado por
A_{ij}=\sum_{k=1}^{3} L_{ik}\,U_{kj}.
Isto significa: pegue a linha i de L e faça o produto escalar com a coluna j de U. Vou calcular A elemento a elemento, mostrando os somatórios (assim você pode reproduzir na prova sem erro).

Passo 4

Cálculo dos elementos de A linha por linha.
Primeira linha de L é (1,0,0). Assim:
A_{11}=1\cdot1+0\cdot0+0\cdot0=1,
A_{12}=1\cdot0+0\cdot(-1)+0\cdot0=0,
A_{13}=1\cdot1+0\cdot(-3)+0\cdot1=1.
Segunda linha de L é (2,1,0). Assim:
A_{21}=2\cdot1+1\cdot0+0\cdot0=2,
A_{22}=2\cdot0+1\cdot(-1)+0\cdot0=-1,
A_{23}=2\cdot1+1\cdot(-3)+0\cdot1=2-3=-1.
Terceira linha de L é (3,1,1). Assim:
A_{31}=3\cdot1+1\cdot0+1\cdot0=3,
A_{32}=3\cdot0+1\cdot(-1)+1\cdot0=-1,
A_{33}=3\cdot1+1\cdot(-3)+1\cdot1=3-3+1=1.

Passo 5

Matriz A obtida e construção do sistema.
Reunindo os elementos calculados, a matriz A é
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 1 \\\\ 2 & -1 & -1 \\\\ 3 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
O sistema A\mathbf{X}=B com \mathbf{X}=\begin{pmatrix}x_1\\[4pt]x_2\\[4pt]x_3\end{pmatrix} corresponde, linha a linha, aos produtos das linhas de A pelos componentes de \mathbf{X} igualando aos componentes de B. Portanto as equações são:
primeira linha: 1\cdot x_1+0\cdot x_2+1\cdot x_3=1,
segunda linha: 2\cdot x_1-1\cdot x_2-1\cdot x_3=4,
terceira linha: 3\cdot x_1-1\cdot x_2+1\cdot x_3=4.]

Resposta

\;x_{1}+x_{3}=1
\;2x_{1}-x_{2}-x_{3}=4
\;3x_{1}-x_{2}+x_{3}=4

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