Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para
tal que
, utilizando um polinômio do primeiro grau.
0,5
0,6
0,7
1,65
1,82
2,01
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0,5 | 0,6 | 0,7 |
|
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1,65 | 1,82 | 2,01 |
Passo 1
O enunciado dá uma tabela com valores de
e
e pede para obter a melhor aproximação para
tal que
usando um polinômio de primeiro grau. Os dados fornecidos na tabela são (peguei estes valores diretamente da tabela):
O que se pede: encontrar
tal que
, aproximando
por um polinômio de grau 1 (ou seja, uma reta).
Passo 2
Identificar entre quais pontos da tabela o valor
está. Observando os
dados:
portanto
está entre
e
. Faz sentido usar a reta que passa por esses dois pontos para interpolar localmente e achar
(usaremos os pontos
e
, extraídos da tabela).
Passo 3
Explicar o que é um polinômio de primeiro grau e como interpolar com ele. Um polinômio de primeiro grau tem a forma
onde
é a inclinação (slope) da reta e
é o coeficiente linear (intercepto). Para passar uma reta por dois pontos
e
usamos a fórmula da inclinação:
Isso vem da definição de taxa de variação: mudança em
dividida pela mudança em
. Depois de obter
, encontramos
usando
(ou usando o outro ponto; dá o mesmo resultado).
Passo 4
Calcular a inclinação
usando os pontos da tabela
e
(novamente, estes valores foram pegos da tabela):
Interpretação rápida: a função (na vizinhança desses pontos) sobe
unidades em
quando
aumenta de
unidade.
Passo 5
Determinar o coeficiente linear
. Usando
e o ponto
da tabela:
Calcule:
Passo 6
Agora temos o polinômio (reta) de interpolação entre os dois pontos:
Para aproximar
tal que
assumimos
neste intervalo e resolvemos
Passo 7
Resolver a equação para
:
Para escrever como fração exata multiplicamos numerador e denominador por
(ou simplificamos):
. Agora a aproximação decimal:
Arredondando de forma adequada (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos
.