Dada a tabela que segue, obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f(x^{*})=1,71, utilizando um polinômio do primeiro grau.
x 0,5 0,6 0,7
f(x) 1,65 1,82 2,01

Passo 1

O enunciado dá uma tabela com valores de x e f(x) e pede para obter a melhor aproximação para x^{*} tal que f(x^{*})=1,71 usando um polinômio de primeiro grau. Os dados fornecidos na tabela são (peguei estes valores diretamente da tabela):
x=0,5,\; f(x)=1,65
x=0,6,\; f(x)=1,82
x=0,7,\; f(x)=2,01
O que se pede: encontrar x^{*} tal que f(x^{*})=1,71, aproximando f por um polinômio de grau 1 (ou seja, uma reta).

Passo 2

Identificar entre quais pontos da tabela o valor 1,71 está. Observando os f(x) dados:
1,65 \;<\; 1,71 \;<\; 1,82,
portanto 1,71 está entre f(0,5)=1,65 e f(0,6)=1,82. Faz sentido usar a reta que passa por esses dois pontos para interpolar localmente e achar x^{*} (usaremos os pontos (0,5,1,65) e (0,6,1,82), extraídos da tabela).

Passo 3

Explicar o que é um polinômio de primeiro grau e como interpolar com ele. Um polinômio de primeiro grau tem a forma
p(x)=ax+b,
onde a é a inclinação (slope) da reta e b é o coeficiente linear (intercepto). Para passar uma reta por dois pontos (x_1,y_1) e (x_2,y_2) usamos a fórmula da inclinação:
a=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}.
Isso vem da definição de taxa de variação: mudança em y dividida pela mudança em x. Depois de obter a, encontramos b usando b=y_1-a x_1 (ou usando o outro ponto; dá o mesmo resultado).

Passo 4

Calcular a inclinação a usando os pontos da tabela (x_1,y_1)=(0,5,1,65) e (x_2,y_2)=(0,6,1,82) (novamente, estes valores foram pegos da tabela):
a=\frac{1,82-1,65}{0,6-0,5}=\frac{0,17}{0,1}=1,7.
Interpretação rápida: a função (na vizinhança desses pontos) sobe 1,7 unidades em f quando x aumenta de 1 unidade.

Passo 5

Determinar o coeficiente linear b. Usando p(x)=1,7x+b e o ponto (0,5,1,65) da tabela:
1,65=1,7\cdot 0,5 + b.
Calcule:
1,7\cdot 0,5 = 0,85,
b = 1,65-0,85 = 0,80.

Passo 6

Agora temos o polinômio (reta) de interpolação entre os dois pontos:
p(x)=1,7x+0,80.
Para aproximar x^{*} tal que f(x^{*})=1,71 assumimos f\approx p neste intervalo e resolvemos
1,7x+0,80=1,71.

Passo 7

Resolver a equação para x:
1,7x = 1,71-0,80 = 0,91,
x = \frac{0,91}{1,7}.
Para escrever como fração exata multiplicamos numerador e denominador por 100 (ou simplificamos): x=\dfrac{91}{170}. Agora a aproximação decimal:
x \approx 0,535294\ldots
Arredondando de forma adequada (por exemplo, 4 casas decimais) obtemos x\approx 0,5353.

Resposta

\displaystyle x^{*}=\frac{91}{170}\approx 0,5353

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