Aplique a iteração de Gauss Seidel em um sistema onde:
A=\left(\begin{array}{cc} 0.96326 & 0.81321 \\\\ 0.811321 & 0.68654 \end{array}\right) \quad B=\binom{0.88824}{0.74988}
Use (0.33116,0.70000)^{\mathrm{t}} como ponto de partida e explique o que acontece.

Passo 1

O enunciado fornece o sistema linear A x = B com
A=\begin{pmatrix}0,96326 & 0,81321\\[4pt]0,811321 & 0,68654\end{pmatrix},\qquad B=\begin{pmatrix}0,88824\\[4pt]0,74988\end{pmatrix},
e pede que se aplique a iteração de Gauss–Seidel partindo do ponto inicial
x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,33116\\[4pt]0,70000\end{pmatrix}.
As solicitações são: realizar a iteração a partir desse chute e explicar o que acontece com a sequência de iterações (se converge, diverge, se é lenta, etc.).
Informações relevantes dadas:
  • Os elementos de A e B estão fornecidos numericamente (já usei esses números acima).
  • O ponto inicial também está dado numericamente (já coloquei acima).
  • Não foi pedido um número fixo de iterações, portanto vou mostrar as fórmulas, calcular algumas iterações para ilustrar o comportamento e depois analisar a convergência teoricamente.]

Passo 2

O que é a iteração de Gauss–Seidel (modo prático para 2×2) — aula rápida e fórmula:
  • Para o sistema
\begin{cases} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 = b_1,\\[4pt] a_{21} x_1 + a_{22} x_2 = b_2, \end{cases}
a iteração de Gauss–Seidel atualiza em cada passo os componentes sequencialmente usando já o valor atualizado de x_1 quando calcula x_2. As fórmulas de atualização são
x_1^{(k+1)}=\frac{1}{a_{11}}\bigl(b_1 - a_{12}\,x_2^{(k)}\bigr), \qquad x_2^{(k+1)}=\frac{1}{a_{22}}\bigl(b_2 - a_{21}\,x_1^{(k+1)}\bigr).
  • Explicando o porquê: a cada passo resolve-se a primeira equação para x_1 usando o x_2 antigo, depois usa-se esse novo x_1 na segunda equação para obter x_2 novo. Isso em geral acelera a convergência em relação ao método de Jacobi.
  • Condição de convergência prática: para matrizes estritamente diagonalmente dominantes por linhas o método converge; porém essa é uma condição suficiente, não necessária. Em termos matriciais, a iteração pode ser escrita x^{(k+1)} = T_{\text{GS}}\,x^{(k)} + c e converge se e somente se o raio espectral \rho(T_{\text{GS}}) < 1. Para 2\times2 existe uma fórmula simples que vamos usar adiante.]

Passo 3

Aplicando as fórmulas de atualização com os números dados — cálculo passo a passo (algumas iterações para ver o comportamento).
Dados numéricos (repetindo para referência):
a_{11}=0,96326,\quad a_{12}=0,81321,\quad a_{21}=0,811321,\quad a_{22}=0,68654,
b_1=0,88824,\quad b_2=0,74988, \quad x^{(0)}=\begin{pmatrix}0,33116\\[4pt]0,70000\end{pmatrix}.
Iteração k=0\to1:
x_1^{(1)}=\frac{0,88824-0,81321\cdot 0,70000}{0,96326} =\frac{0,88824-0,569247}{0,96326} =\frac{0,318993}{0,96326}\approx 0,331154.
x_2^{(1)}=\frac{0,74988-0,811321\cdot 0,331154}{0,68654} =\frac{0,74988-0,2686721944}{0,68654} =\frac{0,4812078056}{0,68654}\approx 0,700983.
Logo
x^{(1)}\approx\begin{pmatrix}0,331154\\[4pt]0,700983\end{pmatrix}.
Iteração k=1\to2:
x_1^{(2)}=\frac{0,88824-0,81321\cdot 0,700983}{0,96326} \approx\frac{0,3181936}{0,96326}\approx 0,330300,
x_2^{(2)}=\frac{0,74988-0,811321\cdot 0,330300}{0,68654} \approx\frac{0,4819007}{0,68654}\approx 0,702008.
Assim
x^{(2)}\approx\begin{pmatrix}0,330300\\[4pt]0,702008\end{pmatrix}.
Iteração k=2\to3 (apenas para ver a tendência):
x_1^{(3)}\approx 0,329429,\qquad x_2^{(3)}\approx 0,703060,
ou seja
x^{(3)}\approx\begin{pmatrix}0,329429\\[4pt]0,703060\end{pmatrix}.
Observação numérica imediata: os valores mudam muito pouco a cada iteração — x_1 passa de 0,33116 para 0,32943 em três iterações; x_2 de 0,70000 para 0,70306. Isso já dá a pista: o método está convergindo, mas MUITO lentamente.]

Passo 4

Análise teórica do motivo da lentidão (explicação didática):
  • Para 2\times2 com A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} o operador de iteração de Gauss–Seidel tem a forma (matricialmente)
T_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U,
e, no caso 2\times2, pode-se mostrar (cálculo direto) que os autovalores de T_{\text{GS}} são 0 e \dfrac{b c}{a d}. Assim
\rho(T_{\text{GS}})=\left|\frac{b c}{a d}\right|.
  • Para nossa matriz isto dá
\rho(T_{\text{GS}})=\left|\frac{0,81321\cdot 0,811321}{0,96326\cdot 0,68654}\right| =1-\frac{\det(A)}{a_{11}a_{22}},
onde já calculamos
\det(A)=a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\approx 0,00154217.
Computando numericamente
\frac{a_{12}a_{21}}{a_{11}a_{22}}\approx 0,997669.
Logo
\rho(T_{\text{GS}})\approx 0,997669<1,
ou seja o método converge (pois o raio espectral é menor que 1), mas o valor está muito próximo de 1. Quando \rho está muito perto de 1, a redução do erro em cada iteração é muito pequena: se o erro inicial vale \varepsilon_0, depois de n iterações o erro típico é da ordem de \varepsilon_0\cdot\rho^n\approx \varepsilon_0\exp(n\ln\rho). Como \ln(0,997669)\approx -0,00233, para reduzir o erro por um fator 10^{-3} (ganho de três ordens de grandeza) seriam necessários cerca de
n\approx\frac{\ln(10^{-3})}{\ln(\rho)}\approx\frac{-6{,}9078}{-0{,}00233}\approx 2965
iterações — ou seja, milhares de iterações. Isso explica a lentidão observada numericamente.
  • Interpretação física/geométrica simples: as colunas de A são quase proporcionais (ou seja, A quase singular), então há muita sensibilidade e o método iterativo “empurra” devagar o vetor para a solução exata.

Passo 5

Cálculo da solução exata (para referência) — ensinar como verificar se o método está realmente convergindo para o valor certo:
  • Pela regra de Cramer (fácil em 2\times2):
x_1=\frac{b_1 a_{22}-b_2 a_{12}}{\det(A)},\qquad x_2=\frac{a_{11} b_2 - a_{21} b_1}{\det(A)}.
Usando os números já calculados:
\det(A)\approx 0,0015421696,
b_1 a_{22}-b_2 a_{12}\approx 0,0000023752, \quad a_{11} b_2 - a_{21} b_1\approx 0,001681645.
Portanto a solução exata é aproximadamente
x\approx\begin{pmatrix}0,001540\\[4pt]1,090743\end{pmatrix}.
  • Observação interessante: o chute inicial x^{(0)}=(0,33116,\,0,70000)^\top produz A x^{(0)} muito próximo de B porque as colunas de A são quase múltiplas — isto significa que vetores x bastante diferentes podem dar produtos A x muito similares quando A é quase singular. Ainda assim existe uma única solução (pois \det(A)\neq 0), e Gauss–Seidel tende a ela, só que lentamente.]

Passo 6

Conclusão prática e recomendação (o que fazer na prova / em computação):
  • O que acontece: a iteração de Gauss–Seidel, iniciada em x^{(0)}, converge para a solução exata \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,001540\\[4pt]1,090743\end{pmatrix}, mas converge muitíssimo devagar porque \rho(T_{\text{GS}})\approx 0,997669 está muito próximo de 1. Nas primeiras iterações os valores praticamente não se movem (como vimos numericamente), e são necessárias milhares de iterações para obter alta precisão.
  • Em provas: identifique se a matriz é quase singular (determinante pequeno) ou se |a_{ii}|<\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para alguma linha (não há dominância diagonal) — isso dá pistas sobre lentidão. Quando o método converge muito devagar, prefira resolver diretamente (eliminação de Gauss) ou usar métodos com aceleração (relaxação, pré-condicionamento, ou métodos diretos) em vez de iterar Gauss–Seidel sem controle.]

Resposta

Solução exata aproximada: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,001540\\[4pt]1,090743\end{pmatrix}
O método de Gauss–Seidel, iniciado em x^{(0)}=(0,33116,\,0,70000)^{\top}, converge para essa solução, porém muito lentamente: o raio espectral do operador de iteração é \rho(T_{\text{GS}})\approx 0,997669 (muito próximo de 1), o que exige da ordem de milhares de iterações para reduzir significativamente o erro.]

Exercícios relacionados