As solicitações são: realizar a iteração a partir desse chute e explicar o que acontece com a sequência de iterações (se converge, diverge, se é lenta, etc.).
Informações relevantes dadas:
Os elementos de A e B estão fornecidos numericamente (já usei esses números acima).
O ponto inicial também está dado numericamente (já coloquei acima).
Não foi pedido um número fixo de iterações, portanto vou mostrar as fórmulas, calcular algumas iterações para ilustrar o comportamento e depois analisar a convergência teoricamente.]
Passo 2
O que é a iteração de Gauss–Seidel (modo prático para 2×2) — aula rápida e fórmula:
a iteração de Gauss–Seidel atualiza em cada passo os componentes sequencialmente usando já o valor atualizado de x_1 quando calcula x_2. As fórmulas de atualização são
Explicando o porquê: a cada passo resolve-se a primeira equação para x_1 usando o x_2 antigo, depois usa-se esse novo x_1 na segunda equação para obter x_2 novo. Isso em geral acelera a convergência em relação ao método de Jacobi.
Condição de convergência prática: para matrizes estritamente diagonalmente dominantes por linhas o método converge; porém essa é uma condição suficiente, não necessária. Em termos matriciais, a iteração pode ser escrita x^{(k+1)} = T_{\text{GS}}\,x^{(k)} + c e converge se e somente se o raio espectral \rho(T_{\text{GS}}) < 1. Para 2\times2 existe uma fórmula simples que vamos usar adiante.]
Passo 3
Aplicando as fórmulas de atualização com os números dados — cálculo passo a passo (algumas iterações para ver o comportamento).
Observação numérica imediata: os valores mudam muito pouco a cada iteração — x_1 passa de 0,33116 para 0,32943 em três iterações; x_2 de 0,70000 para 0,70306. Isso já dá a pista: o método está convergindo, mas MUITO lentamente.]
Passo 4
Análise teórica do motivo da lentidão (explicação didática):
Para 2\times2 com A=\begin{pmatrix}a&b\c&d\end{pmatrix} o operador de iteração de Gauss–Seidel tem a forma (matricialmente)
T_{\text{GS}}=-(D+L)^{-1}U,
e, no caso 2\times2, pode-se mostrar (cálculo direto) que os autovalores de T_{\text{GS}} são 0 e \dfrac{b c}{a d}. Assim
ou seja o método converge (pois o raio espectral é menor que 1), mas o valor está muito próximo de 1. Quando \rho está muito perto de 1, a redução do erro em cada iteração é muito pequena: se o erro inicial vale \varepsilon_0, depois de n iterações o erro típico é da ordem de \varepsilon_0\cdot\rho^n\approx \varepsilon_0\exp(n\ln\rho). Como \ln(0,997669)\approx -0,00233, para reduzir o erro por um fator 10^{-3} (ganho de três ordens de grandeza) seriam necessários cerca de
iterações — ou seja, milhares de iterações. Isso explica a lentidão observada numericamente.
Interpretação física/geométrica simples: as colunas de A são quase proporcionais (ou seja, A quase singular), então há muita sensibilidade e o método iterativo “empurra” devagar o vetor para a solução exata.
Passo 5
Cálculo da solução exata (para referência) — ensinar como verificar se o método está realmente convergindo para o valor certo:
Observação interessante: o chute inicial x^{(0)}=(0,33116,\,0,70000)^\top produz A x^{(0)} muito próximo de B porque as colunas de A são quase múltiplas — isto significa que vetores x bastante diferentes podem dar produtos A x muito similares quando A é quase singular. Ainda assim existe uma única solução (pois \det(A)\neq 0), e Gauss–Seidel tende a ela, só que lentamente.]
Passo 6
Conclusão prática e recomendação (o que fazer na prova / em computação):
O que acontece: a iteração de Gauss–Seidel, iniciada em x^{(0)}, converge para a solução exata \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,001540\\[4pt]1,090743\end{pmatrix}, mas converge muitíssimo devagar porque \rho(T_{\text{GS}})\approx 0,997669 está muito próximo de 1. Nas primeiras iterações os valores praticamente não se movem (como vimos numericamente), e são necessárias milhares de iterações para obter alta precisão.
Em provas: identifique se a matriz é quase singular (determinante pequeno) ou se |a_{ii}|<\sum_{j\ne i}|a_{ij}| para alguma linha (não há dominância diagonal) — isso dá pistas sobre lentidão. Quando o método converge muito devagar, prefira resolver diretamente (eliminação de Gauss) ou usar métodos com aceleração (relaxação, pré-condicionamento, ou métodos diretos) em vez de iterar Gauss–Seidel sem controle.]
Resposta
Solução exata aproximada: \displaystyle x\approx\begin{pmatrix}0,001540\\[4pt]1,090743\end{pmatrix}
O método de Gauss–Seidel, iniciado em x^{(0)}=(0,33116,\,0,70000)^{\top}, converge para essa solução, porém muito lentamente: o raio espectral do operador de iteração é \rho(T_{\text{GS}})\approx 0,997669 (muito próximo de 1), o que exige da ordem de milhares de iterações para reduzir significativamente o erro.]