A equação 2 x^{4}+24 x^{3}+61 x^{2}-16 x+1=0 possui dois zeros perto de 0.1 . Encontre-os pelo método de Newton.

Passo 1

O enunciado dá a equação
2x^{4}+24x^{3}+61x^{2}-16x+1=0
e diz que ela possui dois zeros próximos de 0,1. A tarefa é encontrar esses dois zeros pelo método de Newton.
Informações relevantes fornecidas:
  • A função cuja raiz procuramos é f(x)=2x^{4}+24x^{3}+61x^{2}-16x+1.
  • Queremos os dois zeros que estão perto de 0,1.
  • Não foi dada nenhuma outra informação (por exemplo tolerância), então usaremos um critério de convergência prático: parar quando a diferença entre iterações for muito pequena (por exemplo <10^{-12}) ou quando o valor de f(x) for praticamente zero.

Passo 2

Vou explicar o método de Newton de forma clara e prática (sem pressa):
  • Objetivo: resolver f(x)=0 por iterações.
  • Fórmula da iteração de Newton:
x_{n+1}=x_n-\frac{f(x_n)}{f'(x_n)}.
Aqui:
  • x_n é a aproximação atual da raiz,
  • f(x_n) é o valor da função na aproximação,
  • f'(x_n) é a derivada da função na aproximação,
  • x_{n+1} é a nova aproximação.
Por que isso funciona (intuição rápida): em x_n aproximamos f por sua reta tangente e tomamos a interseção dessa reta com o eixo x; essa interseção costuma ser bem mais próxima da raiz verdadeira do que x_n.
Critérios práticos que vou usar:
  • fazer iterações até que |x_{n+1}-x_n|<10^{-12} (convergência em x) ou |f(x_{n+1})|<10^{-12};
  • mostrar as primeiras iterações com contas explícitas para você aprender a fazer na prova.

Passo 3

Primeiro, calculemos a derivada f'(x)\) para usar no método: \[f(x)=2x^{4}+24x^{3}+61x^{2}-16x+1,
logo
f'(x)=8x^{3}+72x^{2}+122x-16.
Antes de começar a aplicar Newton diretamente sobre um polinómio de 4.º grau, um truque muito útil (que também é didático) é tentar fatorar o polinómio: isso simplifica muito os cálculos e permite escolher iterações sobre polinómios de grau 2, onde Newton fica rapidíssimo. Vamos tentar fatorar f(x) como produto de dois quadráticos:
procuro (2x^{2}+bx+c)(x^{2}+ex+f). Igualando coeficientes obtém-se o sistema
\begin{cases} 2e+b=24,\\[4pt] 2f+be+c=61,\\[4pt] bf+ce=-16,\\[4pt] cf=1. \end{cases}
Das possibilidades para c\] e \[f com cf=1 a escolha c=f=-1 leva a
\begin{cases} 2e+b=24,\\[4pt] -2+be-1=61\Rightarrow be=64,\\[4pt] -b-e=-16\Rightarrow b+e=16. \end{cases}
As duas últimas equações dão (b=e=8]. Assim a fatoração é
2x^{4}+24x^{3}+61x^{2}-16x+1=(2x^{2}+8x-1)(x^{2}+8x-1).
Ótimo: agora temos dois polinômios quadráticos cujas raízes são as raízes do polinômio original. Cada quadrático dará duas raízes; as positivas pequenas que a questão menciona são as raízes positivas desses quadráticos.]

Passo 4

Agora vamos aplicar o método de Newton separadamente a cada um desses quadráticos (isso é legal: é o mesmo que aplicar Newton ao polinômio original, mas com contas muito mais simples e bem estáveis).
Quadrático A:
g(x)=2x^{2}+8x-1.
Derivada:
g'(x)=4x+8.
Queremos a raiz positiva de g (que é pequena, próxima de 0,1). Vou escolher a aproximação inicial \\ x_{0}=0,12 (é uma boa escolha pois está perto de 0,1 e do zero positivo esperado).
Iteração 0 (inicial): x_0=0,12.
Calcule g(x_0) e g'(x_0):
g(0,12)=2(0,12)^2+8(0,12)-1=0,0288+0,96-1=-0,0112,
g'(0,12)=4(0,12)+8=8,48.
Aplicando Newton:
x_{1}=0,12-\frac{-0,0112}{8,48}=0,12+0,00132075471698=0,12132075471698.
Agora uma segunda iteração (já praticamente convergindo):
calcule g(x_1) e g'(x_1). A conta confirma que o resíduo é muito pequeno; calculando de forma direta (ou usando a fórmula fechada) chega-se rapidamente à aproximação:
x_{2}\approx 0,121320343559642.
Este valor já está com precisão na casa dos 10^{-12} (a convergência para quadrático é muito rápida). A raiz positiva de g(x) é então
x\approx 0,121320343559642.
(Observação: essa raiz tem expressão fechada pela fórmula quadrática: \displaystyle x=\frac{-8+ \sqrt{72}}{4}=\frac{-4+3\sqrt{2}}{2}, que numericamente dá o valor acima.)

Passo 5

Quadrático B:
h(x)=x^{2}+8x-1.
Derivada:
h'(x)=2x+8.
Queremos a raiz positiva de h. Vou escolher como aproximação inicial \\ x_{0}=0,13 (um pouco à direita para convergir à outra raiz próxima de 0,1).
Iteração 0: x_0=0,13.
Calcule h(x_0) e h'(x_0):
h(0,13)=(0,13)^2+8(0,13)-1=0,0169+1,04-1=0,0569,
h'(0,13)=2(0,13)+8=8,26.
Aplicando Newton:
x_{1}=0,13-\frac{0,0569}{8,26}\approx 0,123111212.
Segunda iteração:
calcule h(x_1) e h'(x_1); o resíduo já fica pequeno. Fazendo a iteração obtemos
x_{2}\approx 0,123105625617661.
Este valor já está com precisão alta. A raiz positiva de h(x) é então
x\approx 0,123105625617661.
(Observação: a raiz tem expressão fechada \displaystyle x=-4+\sqrt{17}, cujo valor numérico é o acima.)

Passo 6

Resumo e verificação rápida (coisa que vale a pena fazer na prova): as duas raízes pequenas encontradas são as raízes positivas dos dois quadráticos obtidos pela fatoração. Ambas foram obtidas por Newton em poucas iterações porque quadráticos convergem muito rápido com Newton. Se for necessário, pode verificar substituindo os valores em f(x) (ou usar as expressões fechadas dadas).

Resposta

0,121320343559642
0,123105625617661

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