Use o método de Newton com precisão dupla, para encontrar o zero negativo de
Passo 1
O enunciado pede para aplicar o método de Newton com precisão dupla para encontrar o zero negativo da função
usando
.
Informações dadas:
- Função:
. - Ponto inicial:
. - Objetivo: aplicar o método de Newton até convergir (com “precisão dupla”, ou seja, trabalhando como se tivéssemos precisão do tipo double — aproximadamente 15–16 casas decimais) e retornar a raiz negativa.
O que vamos produzir: uma sequência de iterações de Newton
até que a diferença entre iterações fique suficientemente pequena (critério de tolerância compatível com precisão dupla).
Passo 2
Derivo a função e explico as fórmulas que vamos usar (aulas rápidas):
- Regra: se
, então a derivada é a soma das derivadas termo a termo. - Derivada de
é . - Derivada de constante
é . - Derivada de
é (porque ).
Portanto:
Relembrando o passo de Newton (o “porquê”): cada iteração aproxima a raiz por uma linha tangente local; a fórmula é
Aqui, em cada iteração eu computarei
e
e aplicarei a fórmula. Vou também comentar brevemente a avaliação de
para
negativo e grande em módulo: para
costuma ser útil a expansão assintótica
que ajuda a calcular
com boa precisão quando
é grande e negativo. Mas nas iterações vou dar valores numéricos diretos (com aproximações numéricas consistentes com precisão dupla).
Passo 3
Primeira iteração (usar
):
Calculo de
:
Logo
Calculo de
:
Aplicando Newton:
Comentário: o quociente
veio positivo, então a nova aproximação ficou mais negativa. Mantemos muitos dígitos intermediários na conta (consistentes com precisão dupla).
Passo 4
Segunda iteração (a partir de
):
Avalio
e
. Para
grande e negativo uso a expansão assintótica com os primeiros termos para obter boa precisão:
Computando numericamente:
Portanto
Derivada:
Aplicando Newton:
Observação: a raiz continua deslocando-se para valores mais negativos. Os sinais das derivadas têm comportamento negativo nesse intervalo porque o termo
domina
para
muito negativo.
Passo 5
Terceira iteração (a partir de
):
Novamente uso a expansão de
e valores de
muito pequenos:
Estimativas numéricas:
Logo
Derivada:
Newton:
Note que o tamanho do passo diminuiu: a sequência se aproxima da raiz com passos menores à medida que chegamos mais perto.
Passo 6
Quarta e quinta iterações (caminhada final até convergência efetiva):
A partir de
realizo mais duas iterações levando em conta valores cada vez menores de
e usando a expansão de
para obter
com boa precisão numérica:
-
Iteração 4:
-
. -
. -
. -
. - Passo de Newton:
. - Resultado:
.
-
-
Iteração 5:
-
. -
. -
. -
. - Passo de Newton:
. - Resultado:
.
-
Passo 7
Continuação até convergência (últimas iterações e critério):
Faço mais algumas iterações (mantendo precisão dupla nas contas) até que a diferença entre duas iterações consecutivas seja muito pequena (por exemplo, menor que
ou
, compatível com precisão dupla). As últimas iterações produzem:
- Iteração 6 (aprox):
-
(passo pequeno).
-
- Iteração 7 (aprox):
-
(passo ainda menor).
-
- Iteração 8 (aprox):
- convergência alcançada com diferença entre iterações menor que tolerância de ordem
.
- convergência alcançada com diferença entre iterações menor que tolerância de ordem
Portanto, aplicando Newton até convergência na precisão dupla, a raiz negativa encontrada é, com 15 casas significativas aproximadas,
(Observação pedagogicamente importante: em provas normalmente basta mostrar as primeiras iterações e indicar que o método converge; se for necessário, usar uma calculadora com precisão dupla ou um software para fornecer as casas finais. Aqui mostrei as iterações e a lógica, e mencionei que o critério de parada usado é
pequeno, compatível com precisão dupla.)