5- Aplique o método da bisseção para encontrar uma raiz da função
no intervalo
. A raiz aproximada obtida pelo método é.
a) 3,2010
b) 3,5953
c)
d) 2,1333
e) não sei
a) 3,2010
b) 3,5953
c)
d) 2,1333
e) não sei
Passo 1
O enunciado pede: aplicar o método da bisseção para encontrar uma raiz da função
no intervalo
.
Dados relevantes do enunciado:
Dados relevantes do enunciado:
Queremos a raiz aproximada obtida pelo método da bisseção, ou seja, o valor
em
tal que
, encontrado aplicando o processo de bisseção até uma precisão apropriada.
Passo 2
Introdução curta ao método (fórmula e ideia):
O método da bisseção necessita inicialmente de dois pontos e
tais que
e
tenham sinais opostos (ou seja,
). A cada iteração calculamos o ponto médio
O método da bisseção necessita inicialmente de dois pontos
avaliamos
e escolhemos o subintervalo
ou
onde ocorre a mudança de sinal (isto garante que a raiz está nesse subintervalo). Repetimos até a largura do intervalo ser pequena o suficiente. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.
Passo 3
Avaliação inicial dos extremos (peguei os valores diretamente de cálculo trigonométrico padrão):
Como
e
, há pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em
. Podemos aplicar a bisseção.
Passo 4
1ª iteração: calcular o ponto médio e
nele.
Sinais:
e
. Logo a raiz está em
. Atualizo o intervalo para
.
Passo 5
2ª iteração:
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 6
3ª iteração:
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 7
4ª iteração:
Usando
(valor trigonométrico aproximado),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 8
5ª iteração:
Usando
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 9
6ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 10
7ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 11
8ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 12
9ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 13
10ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 14
11ª iteração:
Com
(aprox.),
Sinais:
e
. Raiz está em
. Atualizo
.
Passo 15
12ª iteração:
Com
(aprox.),
Agora os sinais são
e
, portanto a raiz está no intervalo
Passo 16
Critério de parada e aproximação final: o intervalo atual tem comprimento
Esse comprimento é pequeno; a raiz está entre os dois extremos. Uma boa aproximação pela bisseção é o ponto médio desse intervalo:
Arredondando esse valor com 4 casas decimais (seguindo o formato das alternativas), obtemos
. Observando as alternativas dadas, a mais próxima e a correta apresentada é
(opção (c)). Note que com mais iterações a bisseção converge para o valor indicado na alternativa
; aqui paramos quando o intervalo já confinava a raiz com largura
.
Resposta
c)