5- Aplique o método da bisseção para encontrar uma raiz da função f(x)=x / 4+ \cos (x) no intervalo [-2,4]. A raiz aproximada obtida pelo método é.
a) 3,2010
b) 3,5953
c) -1,2524
d) 2,1333
e) não sei

Passo 1

O enunciado pede: aplicar o método da bisseção para encontrar uma raiz da função \,f(x)=\dfrac{x}{4}+\cos(x)\, no intervalo \,[-2,4].
Dados relevantes do enunciado:
\text{função: } f(x)=\dfrac{x}{4}+\cos(x)çã
\text{intervalo inicial: } a=-2,\quad b=4
\text{valores iniciais: } f(a)=f(-2),\quad f(b)=f(4)
Queremos a raiz aproximada obtida pelo método da bisseção, ou seja, o valor x em [-2,4] tal que f(x)=0, encontrado aplicando o processo de bisseção até uma precisão apropriada.

Passo 2

Introdução curta ao método (fórmula e ideia):
O método da bisseção necessita inicialmente de dois pontos a e b tais que f(a) e f(b) tenham sinais opostos (ou seja, f(a)\cdot f(b)<0). A cada iteração calculamos o ponto médio
m=\dfrac{a+b}{2},
avaliamos f(m) e escolhemos o subintervalo [a,m] ou [m,b] onde ocorre a mudança de sinal (isto garante que a raiz está nesse subintervalo). Repetimos até a largura do intervalo ser pequena o suficiente. A cada iteração o comprimento do intervalo é dividido por 2.

Passo 3

Avaliação inicial dos extremos (peguei os valores diretamente de cálculo trigonométrico padrão):
f(-2)=\dfrac{-2}{4}+\cos(-2)=-0,5+\cos(2)\approx -0,5-0,4161468365\approx -0,9161468365.
f(4)=\dfrac{4}{4}+\cos(4)=1+\cos(4)\approx 1-0,6536436209\approx 0,3463563791.
Como f(-2)<0 e f(4)>0, há pelo Teorema do Valor Intermediário pelo menos uma raiz em [-2,4]. Podemos aplicar a bisseção.

Passo 4

1ª iteração: calcular o ponto médio e f nele.
m_1=\dfrac{-2+4}{2}=1.
f(1)=\dfrac{1}{4}+\cos(1)\approx 0,25+0,5403023059\approx 0,7903023059>0.
Sinais: f(-2)<0 e f(1)>0. Logo a raiz está em [-2,1]. Atualizo o intervalo para a=-2,\;b=1.

Passo 5

2ª iteração:
m_2=\dfrac{-2+1}{2}=-0,5.
f(-0,5)=\dfrac{-0,5}{4}+\cos(-0,5)\approx -0,125+0,8775825620\approx 0,7525825620>0.
Sinais: f(-2)<0 e f(-0,5)>0. Raiz está em [-2,-0,5]. Atualizo a=-2,\;b=-0,5.

Passo 6

3ª iteração:
m_3=\dfrac{-2+(-0,5)}{2}=-1,25.
f(-1,25)=\dfrac{-1,25}{4}+\cos(-1,25)\approx -0,3125+0,3153223624\approx 0,0028223624>0.
Sinais: f(-2)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-2,-1,25]. Atualizo a=-2,\;b=-1,25.

Passo 7

4ª iteração:
m_4=\dfrac{-2+(-1,25)}{2}=-1,625.
f(-1,625)=\dfrac{-1,625}{4}+\cos(-1,625)\approx -0,40625+\cos(1,625).
Usando \cos(1,625)\approx -0,0583741434 (valor trigonométrico aproximado),
f(-1,625)\approx -0,40625-0,0583741434\approx -0,4646241434<0.
Sinais: f(-1,625)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,625,-1,25]. Atualizo a=-1,625,\;b=-1,25.

Passo 8

5ª iteração:
m_5=\dfrac{-1,625+(-1,25)}{2}=-1,4375.
f(-1,4375)=\dfrac{-1,4375}{4}+\cos(-1,4375)\approx -0,359375+\cos(1,4375).
Usando \cos(1,4375)\approx 0,130351 (aprox.),
f(-1,4375)\approx -0,359375+0,130351\approx -0,229024<0.
Sinais: f(-1,4375)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,4375,-1,25]. Atualizo a=-1,4375,\;b=-1,25.

Passo 9

6ª iteração:
m_6=\dfrac{-1,4375+(-1,25)}{2}=-1,34375.
f(-1,34375)=\dfrac{-1,34375}{4}+\cos(-1,34375)\approx -0,3359375+\cos(1,34375).
Com \cos(1,34375)\approx 0,2269 (aprox.),
f(-1,34375)\approx -0,3359375+0,2269\approx -0,1090375<0.
Sinais: f(-1,34375)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,34375,-1,25]. Atualizo a=-1,34375,\;b=-1,25.

Passo 10

7ª iteração:
m_7=\dfrac{-1,34375+(-1,25)}{2}=-1,296875.
f(-1,296875)=\dfrac{-1,296875}{4}+\cos(-1,296875)\approx -0,32421875+\cos(1,296875).
Com \cos(1,296875)\approx 0,2715 (aprox.),
f(-1,296875)\approx -0,32421875+0,2715\approx -0,05271875<0.
Sinais: f(-1,296875)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,296875,-1,25]. Atualizo a=-1,296875,\;b=-1,25.

Passo 11

8ª iteração:
m_8=\dfrac{-1,296875+(-1,25)}{2}=-1,2734375.
f(-1,2734375)=\dfrac{-1,2734375}{4}+\cos(-1,2734375)\approx -0,318359375+\cos(1,2734375).
Com \cos(1,2734375)\approx 0,2906 (aprox.),
f(-1,2734375)\approx -0,318359375+0,2906\approx -0,027759375<0.
Sinais: f(-1,2734375)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,2734375,-1,25]. Atualizo a=-1,2734375,\;b=-1,25.

Passo 12

9ª iteração:
m_9=\dfrac{-1,2734375+(-1,25)}{2}=-1,26171875.
f(-1,26171875)=\dfrac{-1,26171875}{4}+\cos(-1,26171875)\approx -0,3154296875+\cos(1,26171875).
Com \cos(1,26171875)\approx 0,3026 (aprox.),
f(-1,26171875)\approx -0,3154296875+0,3026\approx -0,0128296875<0.
Sinais: f(-1,26171875)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,26171875,-1,25]. Atualizo a=-1,26171875,\;b=-1,25.

Passo 13

10ª iteração:
m_{10}=\dfrac{-1,26171875+(-1,25)}{2}=-1,255859375.
f(-1,255859375)=\dfrac{-1,255859375}{4}+\cos(-1,255859375)\approx -0,31396484375+\cos(1,255859375).
Com \cos(1,255859375)\approx 0,3090 (aprox.),
f(-1,255859375)\approx -0,31396484375+0,3090\approx -0,00496484375<0.
Sinais: f(-1,255859375)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,255859375,-1,25]. Atualizo a=-1,255859375,\;b=-1,25.

Passo 14

11ª iteração:
m_{11}=\dfrac{-1,255859375+(-1,25)}{2}=-1,2529296875.
f(-1,2529296875)=\dfrac{-1,2529296875}{4}+\cos(-1,2529296875)\approx -0,313232421875+\cos(1,2529296875).
Com \cos(1,2529296875)\approx 0,3122 (aprox.),
f(-1,2529296875)\approx -0,313232421875+0,3122\approx -0,001032421875<0\quad(\text{ligeiramente negativo}).
Sinais: f(-1,2529296875)<0 e f(-1,25)>0. Raiz está em [-1,2529296875,-1,25]. Atualizo a=-1,2529296875,\;b=-1,25.

Passo 15

12ª iteração:
m_{12}=\dfrac{-1,2529296875+(-1,25)}{2}=-1,25146484375.
f(-1,25146484375)=\dfrac{-1,25146484375}{4}+\cos(-1,25146484375)\approx -0,3128662109375+\cos(1,25146484375).
Com \cos(1,25146484375)\approx 0,3138 (aprox.),
f(-1,25146484375)\approx -0,3128662109375+0,3138\approx 0,0009337890625>0\quad(\text{ligeiramente positivo}).
Agora os sinais são f(-1,2529296875)<0 e f(-1,25146484375)>0, portanto a raiz está no intervalo
[-1,2529296875,\,-1,25146484375].

Passo 16

Critério de parada e aproximação final: o intervalo atual tem comprimento
-1,25146484375-(-1,2529296875)=0,00146484375.
Esse comprimento é pequeno; a raiz está entre os dois extremos. Uma boa aproximação pela bisseção é o ponto médio desse intervalo:
m=\dfrac{-1,2529296875+(-1,25146484375)}{2}=-1,252197265625.
Arredondando esse valor com 4 casas decimais (seguindo o formato das alternativas), obtemos -1,2522. Observando as alternativas dadas, a mais próxima e a correta apresentada é -1,2524 (opção (c)). Note que com mais iterações a bisseção converge para o valor indicado na alternativa -1,2524; aqui paramos quando o intervalo já confinava a raiz com largura \approx 1{,}46\times 10^{-3}.

Resposta

c) -1,2524

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