Problema 1 Nas equações não lineares a seguir podemos afirmar que tais equações admite pelo menos uma raiz no intervalo dado? Justifique sua resposta!
(a) x^{4}+x-3=0,(1,2).
(b) \sqrt[3]{x}=1-x,(0,1).

Passo 1

O enunciado pergunta, para cada uma das duas equações, se podemos afirmar que ela admite pelo menos uma raiz no intervalo indicado, e pede justificação. As informações dadas são:
(a) equação \,x^{4}+x-3=0; e intervalo (1,2).
(b) equação \,\sqrt[3]{x}=1-x; e intervalo (0,1).
O que precisa ser respondido para cada item é: existe pelo menos um c no intervalo dado tal que a equação é satisfeita por x=c? Ou seja, existe c no intervalo com a igualdade verdadeira?

Passo 2

Estratégia geral que vou usar (explicando o porquê passo a passo):
  1. Transformar cada equação em uma função da forma \,F(x)=\text{(lado esquerdo)} - \text{(lado direito)}. Assim raízes da equação correspondem a zeros de F.
  2. Mostrar que F é contínua no intervalo considerado. Vou explicar o que significa continuidade numa linguagem simples: uma função é contínua num ponto x_0 quando valores de x próximos de x_0 produzem valores de F(x) próximos de F(x_0). Para provas de existência de raiz com mudança de sinal usamos o seguinte resultado (Teorema do Valor Intermediário), que é a ferramenta chave:
\text{Teorema do Valor Intermediário: se }F\text{ é contínua em }[a,b]\text{ e }F(a)\text{ e }F(b)\text{ têm sinais opostos, então existe }c\in(a,b)\text{ com }F\text{(c)}=0.áéíêã
Aqui a e b são os extremos do intervalo e F(a),F(b) são os valores da função nesses extremos. A razão intuitiva é: uma função contínua não “pula” valores, então para passar de um valor negativo a um positivo ela precisa passar por zero.
  1. Então, para cada item: definir F, justificar continuidade, calcular F em cada extremidade do intervalo e verificar se há mudança de sinal. Se houver, concluo que existe pelo menos uma raiz.

Passo 3

Resolução do item (a).
  1. Defino a função
F(x)=x^{4}+x-3.
Aqui x é a variável real. Raízes de F equivalem às soluções da equação original.
  1. Continuidade: polinômios são funções que se obtêm somando e multiplicando potências de x. É um fato básico (e fácil de lembrar) que polinômios são contínuos para todo x\in\mathbb{R}. Portanto F é contínua em particular em [1,2].
  2. Avalio F nas extremidades do intervalo:
Calcule F(1):
F(1)=1^{4}+1-3=1+1-3=-1.
Mostrei cada operação: 1^4=1, soma com 1 2, subtrai 3 -1.
Calcule F(2):
F(2)=2^{4}+2-3=16+2-3=15.
Porque 2^4=16, 16+2=18, 18-3=15.
  1. Observação sobre sinais: F(1)=-1<0 e F(2)=15>0. Há uma mudança de sinal entre os extremos.
  2. Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como F é contínua em [1,2] e F(1) e F(2) têm sinais opostos, existe pelo menos um c\in(1,2) tal que F\text{(c)}=0. Logo a equação x^{4}+x-3=0 tem pelo menos uma raiz em (1,2).

Passo 4

Resolução do item (b).
  1. Reescrevo a equação como zero de uma função. Tomo
G(x)=\sqrt[3]{x}-(1-x).
Para facilitar as contas posso também escrever
G(x)=\sqrt[3]{x}+x-1.
Aqui x é a variável e estamos interessados apenas no intervalo (0,1), que está dentro do domínio natural da raiz cúbica real.
  1. Continuidade: a função \,x\mapsto \sqrt[3]{x}\, (ou x^{1/3}) é contínua para todo x\in\mathbb{R} — é uma potência com expoente 1/3 que não causa problemas no domínio real (diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica está definida para negativos também). A função x\mapsto x é contínua e a soma e subtração de funções contínuas é contínua. Portanto G é contínua em [0,1] (e, em consequência, em (0,1)).
  2. Avalio G nas extremidades do intervalo [0,1]:
Calcule G(0):
G(0)=\sqrt[3]{0}+0-1=0+0-1=-1.
Calcule G(1):
G(1)=\sqrt[3]{1}+1-1=1+1-1=1.
  1. Observação sobre sinais: G(0)=-1<0 e G(1)=1>0. Há mudança de sinal entre os extremos.
  2. Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como G é contínua em [0,1] e G(0) e G(1) têm sinais opostos, existe pelo menos um c\in(0,1) tal que G\text{(c)}=0. Isso significa que existe pelo menos uma solução de \sqrt[3]{x}=1-x no intervalo (0,1).

Passo 5

Dicas rápidas para a prova (resumo prático que você pode reproduzir em poucas linhas):
  • Para cada equação escreva H(x)= (lado esquerdo) - (lado direito).
  • Verifique se H é contínua no intervalo (polinômios, potências com expoente racional de denominador ímpar como 1/3, soma/resultado de contínuas são contínuos).
  • Calcule H nos extremos a e b. Se H(a)\cdot H(b)<0, conclua existência de raiz por Teorema do Valor Intermediário.
    Força — você já tem a técnica, é só praticar mais alguns exemplos rápidos.

Resposta

a) Sim.
b) Sim.

Exercícios relacionados