Problema 1 Nas equações não lineares a seguir podemos afirmar que tais equações admite pelo menos uma raiz no intervalo dado? Justifique sua resposta!
(a)
.
(b)
.
(a)
(b)
Passo 1
O enunciado pergunta, para cada uma das duas equações, se podemos afirmar que ela admite pelo menos uma raiz no intervalo indicado, e pede justificação. As informações dadas são:
(a) equação
; e intervalo
.
(b) equação
; e intervalo
.
O que precisa ser respondido para cada item é: existe pelo menos um
no intervalo dado tal que a equação é satisfeita por
? Ou seja, existe
no intervalo com a igualdade verdadeira?
Passo 2
Estratégia geral que vou usar (explicando o porquê passo a passo):
-
Transformar cada equação em uma função da forma
. Assim raízes da equação correspondem a zeros de . -
Mostrar que
é contínua no intervalo considerado. Vou explicar o que significa continuidade numa linguagem simples: uma função é contínua num ponto quando valores de próximos de produzem valores de próximos de . Para provas de existência de raiz com mudança de sinal usamos o seguinte resultado (Teorema do Valor Intermediário), que é a ferramenta chave:
Aqui
e
são os extremos do intervalo e
são os valores da função nesses extremos. A razão intuitiva é: uma função contínua não “pula” valores, então para passar de um valor negativo a um positivo ela precisa passar por zero.
- Então, para cada item: definir
, justificar continuidade, calcular em cada extremidade do intervalo e verificar se há mudança de sinal. Se houver, concluo que existe pelo menos uma raiz.
Passo 3
Resolução do item (a).
- Defino a função
Aqui
é a variável real. Raízes de
equivalem às soluções da equação original.
-
Continuidade: polinômios são funções que se obtêm somando e multiplicando potências de
. É um fato básico (e fácil de lembrar) que polinômios são contínuos para todo . Portanto é contínua em particular em . -
Avalio
nas extremidades do intervalo:
Calcule
:
Mostrei cada operação:
, soma com
dá
, subtrai
dá
.
Calcule
:
Porque
,
,
.
-
Observação sobre sinais:
e . Há uma mudança de sinal entre os extremos. -
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como
é contínua em e e têm sinais opostos, existe pelo menos um tal que . Logo a equação tem pelo menos uma raiz em .
Passo 4
Resolução do item (b).
- Reescrevo a equação como zero de uma função. Tomo
Para facilitar as contas posso também escrever
Aqui
é a variável e estamos interessados apenas no intervalo
, que está dentro do domínio natural da raiz cúbica real.
-
Continuidade: a função
(ou ) é contínua para todo — é uma potência com expoente que não causa problemas no domínio real (diferente da raiz quadrada, a raiz cúbica está definida para negativos também). A função é contínua e a soma e subtração de funções contínuas é contínua. Portanto é contínua em (e, em consequência, em ). -
Avalio
nas extremidades do intervalo :
Calcule
:
Calcule
:
-
Observação sobre sinais:
e . Há mudança de sinal entre os extremos. -
Aplicando o Teorema do Valor Intermediário: como
é contínua em e e têm sinais opostos, existe pelo menos um tal que . Isso significa que existe pelo menos uma solução de no intervalo .
Passo 5
Dicas rápidas para a prova (resumo prático que você pode reproduzir em poucas linhas):
- Para cada equação escreva
(lado esquerdo) (lado direito). - Verifique se
é contínua no intervalo (polinômios, potências com expoente racional de denominador ímpar como , soma/resultado de contínuas são contínuos). - Calcule
nos extremos e . Se , conclua existência de raiz por Teorema do Valor Intermediário.
Força — você já tem a técnica, é só praticar mais alguns exemplos rápidos.
Resposta
a) Sim.
b) Sim.
b) Sim.